Question

【題目】如圖所示，豎直的光滑墻面上有和兩個(gè)釘子，二者處于同一水平高度，間距為，有一原長為、勁度系數(shù)為的輕橡皮筋，一端由釘固定，另一端系有一質(zhì)量為的小球，其中為重力加速度，釘子和小球都可視為質(zhì)點(diǎn)，小球和任何物體碰撞都是完全非彈性碰撞而且不發(fā)生粘連.現(xiàn)將小球水平向右拉伸到與釘距離為的點(diǎn)，釘恰好處于橡皮筋下面并始終與之光滑接觸.初始時(shí)刻小球獲得大小為、方向豎直向下的速度，試確定此后小球沿豎直方向的速度為零的時(shí)刻.

Answer 1

【答案】

【解析】

以釘為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)系，如圖所示.小球在被釋放后受到本身重力和橡皮筋的彈力兩個(gè)力的作用.設(shè)小球相對于原點(diǎn)（即釘）的位置由位矢表示，則彈力可表示為

. ①

小球的運(yùn)動方程為坐標(biāo)系下分解為

， ②

. ③

定義方向新坐標(biāo)，③式可改寫為

. ④

由②和④式知小球在水平和豎直方向都做簡諧振動，其振動方程可表示為

， ⑤

. ⑥

利用參考圓可得到小球速度的表達(dá)式：

， ⑦

. ⑧

將如下初始條件

， ⑨

， ⑩

，

代入⑤至⑧式，可解得振幅和及位相和.再利用，上述振動方程和速度表達(dá)式可用已知量表示為

，

，

，

.

由式可求出小球速度沿方向分量第一次為零的時(shí)刻，即，其中

.

此后，如果小球沿方向的振動沒有中斷，當(dāng)小球沿方向的振動到達(dá)最大振幅處時(shí)，式右端便等于零.然而，按式右端等于零所求出的其他時(shí)刻并不是滿足題意的解.因?yàn)樵诎?/span>式求出的豎直速度等于零的第二個(gè)時(shí)刻之前，小球?qū)⒑?/span>釘發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)刻為

.

此刻，按和兩式可知

，

.

這恰好是釘?shù)奈恢?/span>.這樣，小球?qū)⒃?/span>時(shí)和釘發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后小球速度為零；由于碰撞過程時(shí)間極短，時(shí)刻就是小球速度沿方向分量第二次為零的時(shí)刻.碰撞后小球并不和釘粘連，所以小球?qū)⒀?/span>方向做一維的簡諧振動，由④式可知此振動周期為

.

每經(jīng)過半個(gè)振動周期，都會出現(xiàn)速度為零的情況（此時(shí)自然有）.這樣，除和式確定的前兩個(gè)特定時(shí)刻之外，每當(dāng)

時(shí)，小球速度都為零，因而其沿方向的速度分量也為零.

本題是第29屆全國高中物理競賽決賽試題.

振動問題由于較為容易地構(gòu)造出綜合模型，因此不論是復(fù)賽還是決賽，歷來都是命題的熱點(diǎn)區(qū)域.

在平時(shí)的訓(xùn)練中，對于正交的方向上的振動，我們討論較多的是平衡位置處于一點(diǎn)的情況，本題的命題人別出心裁地構(gòu)造了一個(gè)正交兩方向上振動的平衡位置不在一點(diǎn)的模型.雖然我們曾分別討論過類似于本題中水平方向與豎直的振動情形，但將它們合在一起進(jìn)行討論，至少在此題之前，可能不曾有過，但對于優(yōu)秀的高中生而言，只要真正領(lǐng)會了振動的合成，本題的處理也不過是情境復(fù)雜一點(diǎn)、運(yùn)算復(fù)雜一些而已.

額外說明一點(diǎn)：近年的高中物理競賽，不論是復(fù)賽還是決賽，對學(xué)生的運(yùn)算能力的要求越來越高，運(yùn)算量大是一種常態(tài)，沒有過硬的運(yùn)算能力，很難沖出重圍.