Question

【題目】有一放在空氣中的玻璃棒，折射率，中心軸線(xiàn)長(zhǎng)，一端是半徑為的凸球面

（1）要使玻璃棒的作用相當(dāng)于一架理想的天文望遠(yuǎn)鏡（使主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處物成像于主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處的望遠(yuǎn)系統(tǒng)），取中心軸為主光軸，玻璃棒另一端應(yīng)磨成什么樣的球面？

（2）對(duì)于這個(gè)玻璃棒，由無(wú)限遠(yuǎn)物點(diǎn)射來(lái)的平行入射光束與玻璃棒的主光軸成小角度時(shí)，從棒射出的平行光束與主光軸成小角度，求（此比值等于此玻璃棒的望遠(yuǎn)系統(tǒng)的視角放大率）

Answer 1

【答案】（1）右端應(yīng)為半徑等于5cm的向外凸面球面　（2）

【解析】

首先我們知道，對(duì)于一個(gè)望遠(yuǎn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，從主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處物點(diǎn)發(fā)出的入射光線(xiàn)為平行于主光軸的光線(xiàn)，它經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后的出射光線(xiàn)也應(yīng)與主光軸平行，即像點(diǎn)也在主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處，然后我們?cè)龠\(yùn)用正弦定理、折射定律及小角度近似計(jì)算，即可得出最后結(jié)果.

（1）對(duì)于一個(gè)望遠(yuǎn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，從主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處的物點(diǎn)發(fā)出的入射光為平行于主光軸的光線(xiàn)，它經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后的出射光線(xiàn)也應(yīng)與主光軸平行，即像點(diǎn)也在主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處，如圖所示，圖中為左端球面的球心。

由正弦定理、折射定律和小角度近似得

①

即.②

光線(xiàn)射至另一端面時(shí)，其折射光線(xiàn)為平行于主光軸的光線(xiàn)，由此可知該端面的球心一定在端面頂點(diǎn)的左方，等于球面的半徑

仿照上面對(duì)左端球面上折射的關(guān)系可得

.�、�

又有　④

由②③④式并代入數(shù)值可得.⑤

即右端應(yīng)為半徑等于5cm的向外凸球面.

（2）設(shè)從無(wú)限遠(yuǎn)處物點(diǎn)射入的平行光線(xiàn)用、表示，令過(guò)，過(guò)，如圖所示，則這兩條光線(xiàn)經(jīng)左端球面折射后的相交點(diǎn)，即為左端球面對(duì)此無(wú)限遠(yuǎn)物點(diǎn)成的像點(diǎn)�，F(xiàn)在求點(diǎn)的位置.在中，

.�、�

又，⑦

已知、均為小角度，則有.⑧

與②式比較可知，，即位于過(guò)垂直于主光軸的平面上.上面已知，玻璃棒為天文望遠(yuǎn)系統(tǒng)，則凡是過(guò)點(diǎn)的傍軸光線(xiàn)從棒的右端面射出時(shí)都將是相互平行的光線(xiàn).容易看出，從射向的光線(xiàn)將沿原方向射出，這也就是過(guò)點(diǎn)的任意光線(xiàn)（包括光線(xiàn)、）從玻璃棒射出的平行光線(xiàn)的方向.此方向與主光軸的夾角即為.

.�、�

由②③式可得，則.

放大鏡、望遠(yuǎn)鏡等光學(xué)儀器的名稱(chēng)都是根據(jù)儀器的功能進(jìn)行命名的，并不一定有固定的結(jié)構(gòu).如望遠(yuǎn)鏡的基本功能就是將遠(yuǎn)處的物體相對(duì)觀(guān)察者的視角進(jìn)行放大，以達(dá)到看得更清晰的目的.本題所給出的光學(xué)儀器便是一個(gè)簡(jiǎn)單的望遠(yuǎn)鏡，但從結(jié)構(gòu)上講，它就是一基本的雙球面的折射成像系統(tǒng)，從功能來(lái)講，它就是將遠(yuǎn)處的物體對(duì)觀(guān)察者的視角進(jìn)行了放大.對(duì)于各類(lèi)光學(xué)儀器，只要清楚了它們的功能，就能循著這一功能尋找特殊光線(xiàn)，如本題中就是對(duì)來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)的光線(xiàn)進(jìn)行研究，進(jìn)而求解問(wèn)題.