Question

【題目】重為的圓柱位于可動(dòng)的水平平面與固定的傾角為的斜面之間，如圖所示，圓柱體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)和靜摩擦因數(shù)均為，圓柱體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)和靜摩擦因數(shù)均為，為使水平面能向左勻速運(yùn)動(dòng)，至少要對(duì)它施以多大的力？不考慮圓柱以外的物體施于水平面的阻力.

Answer 1

【答案】若，則不管為何值，均有；若，且，則；

若，且，則無(wú)論用多大的水平力均不可能使水平板向左做勻速運(yùn)動(dòng).

【解析】

如圖乙所示,由于水平面向左勻速運(yùn)動(dòng),圓柱有隨之運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì),但受到斜面的限制,圓柱不能隨水平板一起向左運(yùn)動(dòng),由此圓柱受到水平板的方向向左的摩擦力的作用.在圖乙所示的位置時(shí),圓柱的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)只可能是以下三種形式中的一種,即:

(1)圓柱與水平面的接觸點(diǎn)處不發(fā)生滑動(dòng),即圓柱沿順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)做無(wú)滑滾動(dòng),由于水平板的運(yùn)動(dòng)是勻速的,則此時(shí)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)也是勻速的。

(2)圓柱與斜面的接觸點(diǎn)處不發(fā)生滑動(dòng),而圓柱與水平面的接觸點(diǎn)處發(fā)生滑動(dòng),此時(shí)圓柱處于靜止?fàn)顟B(tài)(當(dāng)然圓柱也沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng));

(3)圓柱在處和處均不發(fā)生滑動(dòng),這時(shí)圓柱也是處于靜止?fàn)顟B(tài),且圓柱下的水平面也被“卡死”而不能發(fā)生運(yùn)動(dòng)。

以上三種情況下,圓柱均處于平衡狀態(tài)(靜止或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)),可根據(jù)圓柱所受合力矩為零的條件定出斜面對(duì)圓柱體的摩擦力方向應(yīng)沿斜面向下故得這三種情況下圓柱體的受力如圖乙所示:其中為圓柱體的重力,和為水平面對(duì)圓柱體的彈力和摩擦力,和為斜面對(duì)圓柱體的彈力和摩擦力。

對(duì)于圓柱體，以點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸時(shí)其轉(zhuǎn)動(dòng)平衡方程為，

式中表示圓柱的半徑，可見(jiàn)與大小相等，以表示之，則有

. ①

對(duì)圓柱體以點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸列轉(zhuǎn)動(dòng)平衡方程，則.

由于，則上式變?yōu)?/span>

. ②

對(duì)圓柱體列其水平方向受力平衡的方程，則.

故得

. ③

（1）現(xiàn)就處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)而處有相對(duì)滑動(dòng)的情況入手進(jìn)行討論，此時(shí)相當(dāng)于圓柱在水平板上做順時(shí)針?lè)较虻臒o(wú)滑滾動(dòng). 如圖丙所示，以點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，圓柱能發(fā)生順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的條件是和對(duì)點(diǎn)的合力矩應(yīng)沿順時(shí)針?lè)较颍��?/span>對(duì)點(diǎn)的力矩值應(yīng)大于對(duì)點(diǎn)的力矩值，則，即. ④

而，可見(jiàn)當(dāng)時(shí)，任意大小的和都可以保證④式的成立，這時(shí)，不管有多大，也不管對(duì)水平板施加多大的外力，均可使圓柱在水平板上做無(wú)滑滾動(dòng). 顯然，為使水平板維持勻速運(yùn)動(dòng)的最小外力是.

若，則由和作用于圓柱的力矩將要求圓柱繞點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，顯然，這是不可能的. 即在這種情況下，在點(diǎn)圓柱與斜面之間不可能再發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)了.

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)在點(diǎn)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則有

. ⑤

由②③⑤式，有，所以，.

令，則上式可以寫(xiě)為

. ⑥

若，則為某一正值，表明上述假設(shè)在點(diǎn)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)（此時(shí)在點(diǎn)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)）是成立的. 此時(shí)拉水平板勻速前進(jìn)的力與大小相等，由③式和⑥式，有，所以.

若，由⑥式可知無(wú)意義或?yàn)樨?fù)值，結(jié)合本題實(shí)際表示的是在點(diǎn)不可能發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，由前述這時(shí)在點(diǎn)也不能發(fā)生相對(duì)滑動(dòng). 即此時(shí)水平板已被“卡死”，不管用多大的水平力都不可能使它沿水平方向向左做勻速運(yùn)動(dòng)了.

綜合上述，本題的答案為

①若，則不管為何值，均有；

②若，且，則；

③若，且，則無(wú)論用多大的水平力均不可能使水平板向左勻速運(yùn)動(dòng).

本題從模型的基本構(gòu)造上看，也是以多點(diǎn)摩擦與臨界分析為主要問(wèn)題的試題，但在臨界問(wèn)題中嵌入了不確定狀態(tài)的分析，而且其不確定的狀態(tài)看上去還“有悖常理”. 如在拉動(dòng)平板小車時(shí)，當(dāng)時(shí)，居然有，因?yàn)槟Ｐ妥畛踅o讀者的直覺(jué)是，只要拉動(dòng)小車，圓柱體就會(huì)與斜面發(fā)生作用，力也就會(huì)隨之產(chǎn)生，拉力就不可能為0，而運(yùn)算的結(jié)果顯示，在一定條件下，這種直覺(jué)是錯(cuò)誤的.

數(shù)學(xué)與物理是緊密相關(guān)的，學(xué)習(xí)物理的確是需要直覺(jué)，但僅有直覺(jué)是不夠的，沒(méi)有嚴(yán)謹(jǐn)依據(jù)的直覺(jué)常常是錯(cuò)的，而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�，很多人常常在審題過(guò)程中從直覺(jué)開(kāi)始構(gòu)建模型，甚至是輸出結(jié)果，從而導(dǎo)致出錯(cuò)，這是缺乏嚴(yán)謹(jǐn)思維的表現(xiàn).

事實(shí)上，有很多我們不熟悉，甚至是“有悖”于自己認(rèn)識(shí)的物理現(xiàn)象與規(guī)律，都是從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分析中得出的，從數(shù)學(xué)結(jié)果分析物理問(wèn)題的能力，也應(yīng)是從事物理學(xué)習(xí)必備的能力之一.