Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≤5﹣|x﹣1|的解集；
（2）若函數(shù)g（x）= ﹣f（2x）﹣a的圖象在（ ，+∞）上與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式f（x）≤5﹣|x﹣1|，即|x﹣2|≤5﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≤5，

∴ ①；或 ②；或 ．

解①求得﹣1≤x＜1，解②求得1≤x≤2，解求得 2＜x≤4，

綜上可得，原不等式的解集為{x|﹣1≤x≤4}．

（2）若函數(shù)g（x）= ﹣f（2x）﹣a的圖象在（ ，+∞）上與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，

則方程 ﹣f（2x）=a在（ ，+∞）上有3個(gè)解，

即函數(shù)h（x）= ﹣|2x﹣2|= 的圖象和直線(xiàn)y=a 在（ ，+∞）上有3個(gè)交點(diǎn)．

當(dāng) ＜x＜1時(shí)，f（x）= +2x﹣2≥2 ﹣2，當(dāng)且僅當(dāng) =2x，即x= 時(shí)，等號(hào)成立．

再根據(jù)f（ ）=1=f（1），當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）= ﹣2x+2單調(diào)遞減，如圖所示：

故a的取值范圍為（2 ﹣2，1）．

【解析】（1）零點(diǎn)分區(qū)間討論可得不等式解集，再取并集；（2）函數(shù)g（x）= ﹣f（2x）﹣a的圖象在（ ，+∞）上與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn),進(jìn)行參變分離，即為，在上有3個(gè)解，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得到a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能正確解答此題．