Question

【題目】質(zhì)量分別為，的兩物體、連接在原長(zhǎng)，勁度系數(shù)為的彈性繩兩端，并放置在水平桌面上，如圖所示.已知兩物塊與桌面間的摩擦因數(shù)均為.現(xiàn)將兩物拉開(kāi)至相距處，由靜止釋放，試求：

（1）兩物體相碰時(shí)的速度、；

（2）從釋放到相碰所用的時(shí)間.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可分解為質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)和相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng).由于存在外力，故先求質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的加速度.

由牛頓第二定律可得

，

所以，.

下面討論兩物體相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng).

當(dāng)、之間的距離為時(shí)，、到質(zhì)心的距離分別為和，則對(duì)應(yīng)部分彈性繩的勁度系數(shù)分別為和.

由于質(zhì)心系是一個(gè)零動(dòng)量的系統(tǒng)，我們選擇其中一個(gè)物體作為研究對(duì)象，得到繩子松弛時(shí)的速度，也就容易得到另一個(gè)物體的速度.

討論質(zhì)心系中的運(yùn)動(dòng).

如圖所示，為繩子的松弛點(diǎn)，則

.

為在彈力、摩擦力和慣性力共同作用下的平衡點(diǎn)，所以

，

所以，.

而拉伸后，，所以，在彈性繩收縮的過(guò)程中做振幅為的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其周期.

從釋放到回到原長(zhǎng)所經(jīng)歷的時(shí)間滿足

.

代入數(shù)據(jù)可得

.

到達(dá)點(diǎn)時(shí)的速度為，則

.

代入數(shù)據(jù)可得.

利用質(zhì)心系的動(dòng)量是零可得

.

回到桌面參考系中，質(zhì)心的速度為

.

的速度為

.

的速度為

.

以后繩子在松弛狀態(tài)，兩物體運(yùn)動(dòng)的加速度大小均為

.

由于的速率較小，先計(jì)算此刻起到停止為止，經(jīng)歷的時(shí)間，滑過(guò)的路程.

，

.

在時(shí)間內(nèi)，的運(yùn)動(dòng)路程為

，

.

說(shuō)明在停下來(lái)以前，、未發(fā)生碰撞.重新考察的運(yùn)動(dòng)，有

.

假設(shè)經(jīng)過(guò)后還有速度，有

，

解得.

兩物體相碰時(shí)的速度為

，（“—”表示方向向左）.

（2）前面已經(jīng)得到了，下面再求從繩子松弛開(kāi)始到、相碰所經(jīng)歷的時(shí)間.

利用得，

所以，.

本題是一道較為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)習(xí)題，對(duì)象與過(guò)程都較多，而且每個(gè)對(duì)象的過(guò)程都不是單一的，其運(yùn)動(dòng)也不是同步的，因此，在對(duì)每個(gè)對(duì)象運(yùn)用程序法解題時(shí)，還必須注意與另一對(duì)象的對(duì)比，其難度可想而知.

參照系的選擇是捅破本題的一大亮點(diǎn)，此處質(zhì)心系一方面是零動(dòng)量系，同時(shí)也是非慣性系，零動(dòng)量系為求解物體的速度帶來(lái)了方便，但非慣性系中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題又必須引入慣性力，而且最后還必須回到地面系來(lái)研究問(wèn)題，得到結(jié)果，可謂有得矣有失，但從總體上講，質(zhì)心系為我們的解題帶來(lái)的描述上的簡(jiǎn)潔是其他方法無(wú)法替代的.

單個(gè)物體在有摩擦力作用的情況下的振動(dòng)，我們平時(shí)研究得較多，這種運(yùn)動(dòng)單向是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，但雙向并不是完整的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因?yàn)椴煌�方向振�?dòng)的平衡位置并不相同，因此，這類習(xí)題的解題必須嚴(yán)格地遵循程序法的解題步驟.