Question

【題目】【2016-2017學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）】

已知數(shù)列滿足，，其中，，為非零常數(shù).

（1）若，，求證：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列是公差不等于零的等差數(shù)列.

①求實數(shù)，的值；

②數(shù)列的前項和構(gòu)成數(shù)列，從中取不同的四項按從小到大排列組成四項子數(shù)列.試問：是否存在首項為的四項子數(shù)列，使得該子數(shù)列中的所有項之和恰好為2017？若存在，求出所有滿足條件的四項子數(shù)列；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）①，，.②，，

【解析】

解：（1）當(dāng)，時，，

.

又，不然，這與矛盾，

為2為首項，3為公比的等比數(shù)列，

，.

（2）①設(shè)，

由得，

，

對任意恒成立.

令，2，3，解得，，，.

經(jīng)檢驗，滿足題意.

綜上，，，.

②由①知.

設(shè)存在這樣滿足條件的四元子列，觀察到2017為奇數(shù)，這四項或者三個奇數(shù)一個偶數(shù)、或者一個奇數(shù)三個偶數(shù).

1°若三個奇數(shù)一個偶數(shù)，設(shè)，，，是滿足條件的四項，

則，

，這與1007為奇數(shù)矛盾，不合題意舍去.

2°若一個奇數(shù)三個偶數(shù)，設(shè)，，，是滿足條件的四項，

則，.

由504為偶數(shù)知，，，中一個偶數(shù)兩個奇數(shù)或者三個偶數(shù).

1）若，，中一個偶數(shù)兩個奇數(shù)，不妨設(shè)，，，

則，這與251為奇數(shù)矛盾.

2）若，，均為偶數(shù)，不妨設(shè)，，，

則，繼續(xù)奇偶分析知，，中兩奇數(shù)一個偶數(shù)，

不妨設(shè)，，，則.

因為，均為偶數(shù)，所以為奇數(shù)，不妨設(shè)，

當(dāng)時，，，檢驗得，，，

當(dāng)時，，，檢驗得，，，

當(dāng)時，，，檢驗得，，，

即，，，或者，，，或者，，，滿足條件，

綜上所述，，，為全部滿足條件的四元子列.