【題目】數學不僅是一門學科,也是一種文化,即數學文化.數學文化包括數學史、數學美和數學應用等多方面.古時候,在某個王國里有一位聰明的大臣,他發(fā)明了國際象棋,獻給了國王,國王從此迷上了下棋,為了對聰明的大臣表示感謝,國王答應滿足這位大臣的一個要求.大臣說:“就在這個棋盤上放一些米粒吧.第格放粒米,第格放粒米,第格放粒米,然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻!就要這么一點米粒?”國王哈哈大笑.大臣說:“就怕您的國庫里沒有這么多米!”國王的國庫里真沒有這么多米嗎?題中問題就是求是多少?請同學們閱讀以下解答過程就知道答案了.
設,
則
即:
事實上,按照這位大臣的要求,放滿一個棋盤上的個格子需要粒米.那么到底多大呢?借助計算機中的計算器進行計算,可知答案是一個位數: ,這是一個非常大的數,所以國王是不能滿足大臣的要求.請用你學到的方法解決以下問題:
我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座層塔共掛了盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的倍,則塔的頂層共有多少盞燈?
計算:
某中學“數學社團”開發(fā)了一款應用軟件,推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案:
已知一列數:,其中第一項是,接下來的兩項是,再接下來的三項是,以此類推,求滿足如下條件的所有正整數,且這一數列前項和為的正整數冪.請直接寫出所有滿足條件的軟件激活碼正整數的值.
【答案】(1)3;(2);(3)
【解析】
設塔的頂層共有盞燈,根據題意列出方程,進行解答即可.
參照題目中的解題方法進行計算即可.
由題意求得數列的每一項,及前n項和Sn=2n+1-2-n,及項數,由題意可知:2n+1為2的整數冪.只需將-2-n消去即可,分別分別即可求得N的值
設塔的頂層共有盞燈,由題意得
.
解得,
頂層共有盞燈.
設,
,
即:
.
即
由題意可知:20第一項,20,21第二項,20,21,22第三項,…20,21,22…,2n1第n項,
根據等比數列前n項和公式,求得每項和分別為:
每項含有的項數為:1,2,3,…,n,
總共的項數為
所有項數的和為
由題意可知:為2的整數冪,只需將2n消去即可,
則①1+2+(2n)=0,解得:n=1,總共有,不滿足N>10,
②1+2+4+(2n)=0,解得:n=5,總共有 滿足,
③1+2+4+8+(2n)=0,解得:n=13,總共有 滿足,
④1+2+4+8+16+(2n)=0,解得:n=29,總共有 不滿足,
∴
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點P(-1,2),AB⊥x軸于點E,正比例函數y=mx的圖像與反比例函數的圖像交于A,P兩點.
(1)求m,n的值與點A的坐標
(2)求的值
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【題目】在一條道路上,甲從A地出發(fā)到B地,乙從B地出發(fā)到A地,乙的速度是80千米/小時,兩人同時出發(fā)各自到達終點后停止,設行駛過程中甲、乙之間的距離為s千米,甲行駛的時間為t小時,s與t之間的函數關系如圖所示,則下列說法錯誤的是( )
A.乙出發(fā)1小時與甲在途中相遇
B.甲從A地到達B地需行駛3小時
C.甲在1.5小時后放慢速度行駛
D.乙到達A地時甲離B地還有60干米
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【題目】如圖1,2分別是某款籃球架的實物圖與示意圖,AB⊥BC于點B,底座BC=1.3米,底座BC與支架AC所成的角∠ACB=60°,點H在支架AF上,籃板底部支架EH∥BC.EF⊥EH于點E,已知AH=米,HF=米,HE=1米.
(1)求籃板底部支架HE與支架AF所成的∠FHE的度數.
(2)求籃板底部點E到地面的距離,(精確到0.01米)(參考數據:≈1.41,≈1.73)
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【題目】甲、乙兩人在同一直線噵路上同起點,同方向同進出發(fā),分別以不同的速度勻速跑步1500米,當甲超出乙200米時,甲停下來等候乙,甲、乙會合后,兩人分別以原來的速度繼續(xù)跑向終點,先到達終點的人在終點休息,在跑步的整個過程中,甲、乙兩人的距離y(米)與出發(fā)的時間x(秒)之間的關系如圖所示,則甲到終點時,乙距離終點______________米。
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【題目】一列快車由甲地開往乙地,一列慢車由乙地開往甲地,兩車同時出發(fā),勻速運動,快車離乙地的路程與行駛時間之間的函數關系如圖中線段所示;慢車離乙地的路程與行駛時間之間的函數關系如圖中線段所示,為線段、的交點.
解讀信息:
(1)甲、乙兩地之間的距離為 ;
(2)點D的坐標為( ).
問題解決:
設快、慢車之間的距離為,求與慢車行駛時間的函數關系式.
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【題目】如圖,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同學從建筑物底端B出發(fā),先沿水平方向向右行走20米到達點C,再經過一段坡度(或坡比)為i=1:0.75、坡長為10米的斜坡CD到達點D,然后再沿水平方向向右行走40米到達點E(A,B,C,D,E均在同一平面內).在E處測得建筑物頂端A的仰角為24°,則建筑物AB的高度約為(參考數據:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°=0.45)( 。
A. 21.7米 B. 22.4米 C. 27.4米 D. 28.8米
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【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為8,點O是AD上一個定點,A0=5,點P從點A出發(fā),以每秒1個單位長的速度,按照A-B-C-D的方向,在正方形的邊上運動,設運動的時間為1 (秒),當t的值為________時, △AOP是等腰三角形.
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【題目】隨著新冠肺炎在全球蔓延,糧食安全與國際糧食貿易等問題再次引起廣泛的關注,2020年4月4日,國務院聯防聯控機制召開新聞發(fā)布會,介紹疫情期間糧食供給和保障工作情況,農業(yè)農村部發(fā)展規(guī)劃司魏百剛給出了定心丸:“我國糧食連年豐收,已連續(xù)5年穩(wěn)定在1.3萬億斤以上,口糧保障絕對安全”,1.3萬億用科學記數法表示為( ).
A.B.C.D.
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