Question

某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，在試驗(yàn)藥效時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間x(小時(shí))之間滿足y＝其對(duì)應(yīng)曲線(如圖所示)過點(diǎn).
 
(1)試求藥量峰值(y的最大值)與達(dá)峰時(shí)間(y取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x值)；
(2)如果每毫升血液中含藥量不少于1微克時(shí)治療疾病有效，那么成人按規(guī)定劑量服用該藥后一次能維持多長(zhǎng)的有效時(shí)間(精確到0.01小時(shí))?

Answer 1

（1）y取最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的x值為1.（2）3.85小時(shí)

(1)由曲線過點(diǎn)，可得，故a＝8.
當(dāng)0<x<1時(shí)，y＝＝4，
當(dāng)x≥1時(shí)，設(shè)2^x－1＝t，可知t≥1，
y＝≤＝4(當(dāng)且僅當(dāng)t＝1，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立)．
綜上可知y_max＝4，且當(dāng)y取最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的x值為1.
所以藥量峰值為4微克，達(dá)峰時(shí)間為1小時(shí)．
(2)當(dāng)0<x<1時(shí)，由＝1，可得x²－8x＋1＝0，
解得x＝4±，又4＋>1，故x＝4－.
當(dāng)x≥1時(shí)，設(shè)2^x－1＝t，則t≥1，＝1，可得＝1，解得t＝4±，
又t≥1，故t＝4＋，所以2^x－1＝4＋，可得x＝log₂(4＋)＋1.
由圖像知當(dāng)y≥1時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的取值范圍是[4－，log₂(4＋)＋1]，
log₂(4＋)＋1－(4－)≈3.85，
所以成人按規(guī)定劑量服用該藥后一次能維持大約3.85小時(shí)的有效時(shí)間．