Question

13．已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow b$，且|${\overrightarrow a}$|=|${\overrightarrow b}$|=4，∠AOB=60°，求：
①|(zhì)3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b}$|； 
②$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$的夾角．

Answer 1

分析 ①根據(jù)條件，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算可以求出$（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}$的值，進(jìn)而便可得出$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|$的值；
②進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$和$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}$的值，進(jìn)而根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出cos$＜\overrightarrow{a}+\overrightarrow，\overrightarrow{a}＞$的值，從而得出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角．

解答 解：①$（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}=9{\overrightarrow{a}}^{2}-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}$
=$9×16-12×16×\frac{1}{2}+4×16$
=16×7；
∴$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|=4\sqrt{7}$；
②$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=16+16+16=16×3；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=4\sqrt{3}$；
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow=16+8=24$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}+\overrightarrow，\overrightarrow{a}＞=\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow{a}|}$=$\frac{24}{4\sqrt{3}×4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為30°．

點(diǎn)評 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，要求$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|$，而求$（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}$的方法，以及向量夾角的余弦公式，已知三角函數(shù)值求角．