Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D與AD1交于點(diǎn)E，AA1＝AD＝2AB＝4.

（1）證明：AE⊥平面ECD.

（2）求點(diǎn)C1到平面AEC的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）證明CD⊥平面ADD1A1可得CD⊥AE，根據(jù)AA1＝AD可得AE⊥DE，

故而AE⊥平面EDC；

（2）根據(jù)V列方程計(jì)算C1到平面AEC的距離.

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，

∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴AA1⊥CD，又AA1∩AD＝A，

∴CD⊥平面ADD1A1，

∴CD⊥AE，

∵四邊形ADD1A1是平行四邊形，∴E是A1D的中點(diǎn)，

∵AA1＝AD，∴AE⊥DE，

又CD∩DE＝D，

∴AE⊥平面ECD.

（2）連接CD1，則點(diǎn)C1到平面AEC的距離即為點(diǎn)C1到平面ACD1的距離.

在△ACD1中，AC＝2，AD1＝4，CD1＝2，

∴CE⊥AD1，且CE2，

∴S4，

設(shè)C1到平面ACD1的距離為h，則V.

又V，

∴4h＝16，即h.

∴點(diǎn)C1到平面AEC的距離為.