Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差數(shù)列．
（1）證明$\left\{{\frac{a_n}{2^n}+1}\right\}$為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)b_n=log₃（a_n+2ⁿ），且T_n=$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+{\frac{1}{{{b_3}b}}_4}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，證明T_n＜1．
（3）在（2）小問(wèn)的條件下，若對(duì)任意的n∈N^*，不等式b_n（1+n）-λn（b_n+2）-6＜0恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令n=1，得a₂=2a₁+3，令n=2，得a₃=6a₁+13，再由2（a₂+5）=a₁+a₃，得a₁=1，a₂=5，推導(dǎo)出$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}+1=\frac{3}{2}（\frac{a_n}{2^n}+1）$，從而能證明$數(shù)列\(zhòng)left\{{\frac{a_n}{2^n}+1}\right\}$是以$\frac{3}{2}$為首項(xiàng)，$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而能求出${a_n}={3^n}-{2^n}$．
（2）推導(dǎo)出${b_n}={log_3}{3^n}=n$，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明T_n＜1．
（3）當(dāng)b_n（1+n）-λn（b_n+2）-6＜0恒成立時(shí)，（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0（n∈N^*）恒成立，設(shè)f（n）=（1-λ）n²+（1-2λ）n-6（n∈N^*），由此利用λ=1，λ＜1，λ＞1進(jìn)行分類討論，能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 證明：（1）在$2{S_n}={a_{n+1}}-{2^{n+1}}+1，n∈{N^*}$中
令n=1，得$2{S_1}={a_2}-{2^2}+1$，即a₂=2a₁+3，①
令n=2，得$2{S_2}={a_3}-{2^3}+1$，即a₃=6a₁+13，②
又2（a₂+5）=a₁+a₃，③
則由①②③解得a₁=1，a₂=5…．（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}2{S_n}={a_{n+1}}-{2^{n+1}}+1\\ 2{S_{n-1}}={a_n}-{2^n}+1\end{array}\right.$，
得到$2{a_n}={a_{n+1}}-{a_n}-{2^n}$，
則$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}+1=\frac{3}{2}（\frac{a_n}{2^n}+1）$
又a₂=5，則$\frac{a_2}{2^2}+1=\frac{3}{2}（\frac{a_1}{2^1}+1）$，
∴$數(shù)列\(zhòng)left\{{\frac{a_n}{2^n}+1}\right\}$是以$\frac{3}{2}$為首項(xiàng)，$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{a_n}{2^n}+1=\frac{3}{2}×{（\frac{3}{2}）^{n-1}}$，解得${a_n}={3^n}-{2^n}$…（6分）
（2）∵${b_n}={log_3}（{a_n}+{2^n}）$，∴${b_n}={log_3}{3^n}=n$，
則${T_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n×（n+1）}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=$1-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n＜1…（8分）
解：（3）當(dāng)b_n（1+n）-λn（b_n+2）-6＜0恒成立時(shí)，
即（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0（n∈N^*）恒成立…（9分）
設(shè)f（n）=（1-λ）n²+（1-2λ）n-6（n∈N^*），
當(dāng)λ=1時(shí)，f（n）=-n-6＜0恒成立，則λ=1滿足條件；
當(dāng)λ＜1時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立；
當(dāng)λ＞1時(shí)，由于對(duì)稱軸x=$-\frac{1-2λ}{1-λ}＜0$，則f（n）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
f（n）≤f（1）=-3λ-4＜0恒成立，則λ＞1滿足條件，
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[1，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列不等式的證明，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．