13.已知△ABC的面積為S,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c
(1)若S=(a+b)2-c2,a+b=4,求sinC的值;
(2)證明:$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{c^2}=\frac{{sin({A-B})}}{sinC}$.

分析 (1)利用余弦定理、三角形的面積公式,結(jié)合條件,即可求sinC的值;
(2)由余弦定理得到a2,b2的表達(dá)式,兩者作差整理即$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{acosB-bcosA}{c}$,再正弦定理將等式右邊的a,b,c換成sinA,sinB,sinC來表示,逆用正弦的差角公式即可得出結(jié)論.

解答 (1)解:由余弦定理:c2=a2+b2-2abcosC,
∴$S=\frac{1}{2}absinC={({a+b})^2}-{a^2}-{b^2}+2abcosC$,
∴sinC=4cosC+4,
又∵sin2C+cos2C=1,∴17sin2C-8sinC=0,∴sinC=0或$sinC=\frac{8}{17}$
又∵C∈(0,π),∴sinC≠0,∴$sinC=\frac{8}{17}$;
(2)證明:由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,
∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB整理得$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{acosB-bcosA}{c}$
依正弦定理,有$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{acosB-bcosA}{c}$=$\frac{sinAcosB-sinBcosA}{sinC}$=$\frac{sin(A-B)}{sinC}$.

點(diǎn)評 本小題主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識,考查三角函數(shù)簡單的變形技能.

練習(xí)冊系列答案
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5.1950~1958年我國的人口數(shù)據(jù)資料:
年份 x195019511952195319541955195619571958
人數(shù)
Y/萬人
55 19656 30057 48258 79660 26661 56062 82864 56365 994
求 y 關(guān)于 x 的非線性回歸方程.

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2.-1060o的終邊落在( 。
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

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18.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(tanα+cotα)x+1=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根是$2-\sqrt{3}$,求sin2α和cos4α的值.

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5.某地區(qū)根據(jù)2008年至2014年每年的生活垃圾無害化處理量y(單位:萬噸)的數(shù)據(jù),用線性回歸模型擬合y關(guān)于t的回歸方程為:$\widehat{y}$=0.92+0.1t(t表示年份代碼,自2008年起,t的取值分別為1,2,3…),則下列表述不正確的是( 。
A.自2008年起,每年的生活垃圾無害化處理量和年份代碼正相關(guān)
B.自2008年起,每年的生活垃圾無害化處理量大約增加0.10萬噸
C.由此模型可知2016年該地區(qū)生活垃圾無害化處理量是1.82萬噸
D.由此模型預(yù)測出2017年該地區(qū)生活垃圾無害化處理量約為1.92萬噸

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1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動.當(dāng)圓滾動到圓心位于(1,1)時(shí),$\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo)為( 。
A.(1-sin1,1-cos1)B.(1+sin1,1-cos1)C.(1-sin1,1+cos1)D.(1+sin1,1+cos1)

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1.中心角為60°的扇形AOB,它的弧長為2π,則三角形AOB的內(nèi)切圓半徑為( 。
A.2B.$\sqrt{3}$C.1D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

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