7.若直線l:y=kx+1與橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1交于M,N兩點,且|MN|=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$,求直線l的方程.

分析 將直線代入橢圓方程,通過消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程,利用根與系數(shù)之間的關(guān)系,利用弦長公式求直線的斜率,從而得直線方程.

解答 解:設直線l與橢圓的交點坐標為M(x1,y1),N(x2,y2),
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,
由消去y得消去y得(1+2k2)x2+4kx=0,
所以x1+x2=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$,x1x2=0,由|MN|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$,得(x1-x22+(y1-y22=$\frac{32}{9}$,
∵y1=kx1+1,y2=kx2+1,
∴y1-y2=k(x1+x2),
∴(1+k2)(x1-x22=$\frac{32}{9}$,即(1+k2)[(x1+x22-4x1x2]=$\frac{32}{9}$,
∴(1+k2)(-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$),化簡得k4+k2-2=0,
解得k2=1,∴k=±1,
∴所求直線l的方程是y=x+1或y=-x+1.

點評 本題主要考查直線與橢圓相交時,利用弦長公式求直線方程,綜合性較強,運算量較大.

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