Question

15．如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，AB是圓O的直徑，BC=CD，AD的延長線與BC的延長線交于點E，過C作CF⊥AE，垂足為點F
（Ⅰ）證明：CF是圓O的切線；
（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OC，AC，證明：AE∥OC，利用CF⊥AE，可得CF⊥OC，即可證明CF是圓O的切線；
（Ⅱ）由割線定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9，得$ED=\frac{32}{9}$，利用勾股定理求CF的長．

解答 （Ⅰ）證明：連接OC，AC，
∵BC=CD，
∴∠CAB=∠CAD．…1分
∵AB是圓O的直徑，
∴OC=OA．
∴∠CAB=∠ACO．…2分
∴∠CAD=∠ACO．
∴AE∥OC．…3分
∵CF⊥AE，
∴CF⊥OC．…4分
∴CF是圓O的切線．…5分
（Ⅱ）解：∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BE．
∵∠CAB=∠CAD，
∴點C為BE的中點．
∴BC=CE=CD=4．…6分
由割線定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9．…7分
得$ED=\frac{32}{9}$．…8分
在△CDE中，CD=CE，CF⊥DE，則F為DE的中點．
∴$DF=\frac{16}{9}$．…9分
在Rt△CFD中，$CF=\sqrt{C{D^2}-D{F^2}}=\sqrt{{4^2}-{{（{\frac{16}{9}}）}^2}}=\frac{{4\sqrt{65}}}{9}$．…10分
∴CF的長為$\frac{{4\sqrt{65}}}{9}$．

點評 本題考查圓的切線的證明，考查割線定理、勾股定理的運用，屬于中檔題．