Question

（2011•昌平區(qū)二模）給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}=m，在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，最大值是

1

2

；②函數(shù)y=f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；④函數(shù)y=f（x）的圖象的對(duì)稱中心是（0，0）．
其中正確命題的序號(hào)是

①③

．

Answer 1

分析：本題為新定義問(wèn)題，因?yàn)閙為整數(shù)，故可取m為幾個(gè)特殊的整數(shù)，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行研究．

解答：解：由題意x-{x}=x-m，
f（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0時(shí)，-

1

2

＜x≤

1

2

，f（x）=|x|，

m=1時(shí)，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=|x-1|，
m=2時(shí)，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=|x-2|，
由圖象可知正確命題為①③，
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義問(wèn)題，具有一定難度，容易出錯(cuò)．考查函數(shù)的性質(zhì)，可結(jié)合圖象進(jìn)行研究，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想．