Question

（本題滿分12分）已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；
證明：當(dāng)時(shí)，
（3）如果且，證明

Answer 1

（Ⅰ）在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．
函數(shù)在處取得極大值．且．
（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）見(jiàn)解析。

本試題主要是考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用。
（1）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到第一問(wèn)中的單調(diào)區(qū)間和極值問(wèn)題。
（2）先利用對(duì)稱(chēng)性求解函數(shù)的解析式，然后構(gòu)造函數(shù)證明不等式恒成立，或者利用第一問(wèn)的結(jié)論，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性得到證明。
（3）由上可知函數(shù)的的單調(diào)性，結(jié)合性質(zhì)可知不等式的證明。
（Ⅰ）．令，則．
當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

	增	極大值	減

所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．
函數(shù)在處取得極大值．且．
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
所以，于是．
記，則，，
當(dāng)時(shí)，，從而，又，所以，
于是函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233842961695.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，當(dāng)時(shí)，．因此．
（Ⅲ）(1) 若，由（Ⅰ）及,得,與矛盾；
(2) 若，由（Ⅰ）及,得,與矛盾；
根據(jù)(1)，(2)可得．不妨設(shè)．
由（Ⅱ）可知，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233843366417.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，又，由（Ⅰ），在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，
所以　，即．