Question

6．斜率為1的直線與拋物線y=ax²（a＞0）交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為1，則該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于直線斜率為1，可設(shè)方程y=x+b，與拋物線的方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得a的值，再求出拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離即可．

解答 解：設(shè)直線為y=x+b，與y=ax²聯(lián)立方程組，即為$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，消y可得ax²-x-b=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=$\frac{1}{a}$，
∵線段AB的中點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為1，
∴$\frac{1}{2a}$=1，
解得a=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²，
∴該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離$\frac{1}{2}$a即為$\frac{1}{4}$，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題．