Question

【題目】已知函數(shù) ．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對任意 ，都有xln（kx）﹣kx+1≤mx，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：由已知得，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
（Ⅰ） ，．
令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得0＜x＜1．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞），
（Ⅱ）由xln（kx）﹣kx+1≤mx，
得 ，即m≥f（x）max ．
由（Ⅰ）知，
（i）當(dāng)k≥2時(shí)，f（x）在 上單調(diào)遞減，所以 ，所以m≥0；．
（ii）當(dāng)0＜k≤1時(shí)，f（x）在 上單調(diào)遞增，所以 ，
所以 ；
（iii）當(dāng)1＜k＜2時(shí)，f（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
所以 ．
又 ， ，
①若 ，即 ，所以1＜k＜2ln2，此時(shí) ，
所以 ．
②若 ，即 ，所以2ln2≤k＜2，此時(shí)f（x）max=0，所以m≥0
綜上所述，當(dāng)k≥2ln2時(shí)，m≥0；
當(dāng)0＜k＜2ln2時(shí)， ．
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為m≥f（x）max ， 通過討論k的范圍，求出f（x）的最大值，從而求出m的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．