Question

17．如圖，在?ABCD中，M，N分別為AB，AD上的點(diǎn)，且$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$，連接AC，MN交于P點(diǎn)，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AC}$，則λ的值為（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{3}{7}$
• C． $\frac{6}{13}$
• D． $\frac{6}{17}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$，∴$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AC}$=λ（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$=$λ（\frac{3}{2}\overrightarrow{AN}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AM}）=\frac{3}{2}λ\overrightarrow{AN}+\frac{4}{3}λ\overrightarrow{AM}$，三點(diǎn)M，N，P共線．$\frac{3}{2}λ+\frac{4}{3}λ=1$，即可求得λ．

解答 解：∵$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$，∴$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AC}$=λ（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$
=$λ（\frac{3}{2}\overrightarrow{AN}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AM}）=\frac{3}{2}λ\overrightarrow{AN}+\frac{4}{3}λ\overrightarrow{AM}$，
∵三點(diǎn)M，N，P共線．∴$\frac{3}{2}λ+\frac{4}{3}λ=1$，則λ=$\frac{6}{17}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，及三點(diǎn)共線的充要條件，屬于中檔題．