Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=2，BC₁=，CC₁=，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，E為棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）在線段CC₁上是否存在一點(diǎn)F，使得EF∥平面A₁BC₁？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（Ⅱ）在線段CC₁上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥BB₁？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（ III）當(dāng)F為CC₁的中點(diǎn)時(shí)，若AC≤CC₁，且EF與平面ACC₁A₁所成的角的正弦值為，求二面角C-AA₁-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）存在，中點(diǎn)，利用線面平行的判定定理可得結(jié)論；
（Ⅱ）存在，當(dāng)F在靠端點(diǎn)C₁一側(cè)的四等分點(diǎn)時(shí)．
（III）建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面ACC₁A₁、平面AA₁B的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結(jié)論．
解答：解：（I）存在，中點(diǎn)．
取A₁B的中點(diǎn)D，連接ED，DC₁，則ED∥AA₁，ED=AA₁，
∵F為CC₁上的動(dòng)點(diǎn)，∴ED∥FC₁，ED=FC₁，
∴四邊形DEFC₁是平行四邊形
∴EF∥DC₁，
∴EF?平面A₁BC₁，DC₁?平面A₁BC₁，
∴EF∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）存在，當(dāng)F在靠端點(diǎn)C₁一側(cè)的四等分點(diǎn)時(shí)．
（III）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面ACC₁A₁的一個(gè)法向量為
又
則，，令z₁=1，則
又
∴=…（6分）
解得b=1，或，
∵AC≤CC₁∴b=1
∴
同理可求得平面AA₁B的一個(gè)法向量
∴=
又二面角C-AA₁-B為銳二面角，故余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．