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17.某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:萬元)對年銷售量y(單位:噸)的影響,對近六年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,3,4,5,6)的數(shù)據作了初步統(tǒng)計,得到如下數(shù)據:
 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016
 年宣傳費x(萬元) 3848  58 68 78 88
 年銷售量y(噸) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
經電腦模擬發(fā)現(xiàn)年宣傳費x(單位:萬元)與年銷售量y(單位:噸)之間近似滿足關系式:y=a•xb(a,b>G),即lny=b•lnx+lna,對上述數(shù)據作了初步處理,得到相關的值如下表:
 6i=1(lnxi•lnyi 6i=1(lnxi)  6i=1(lnyi)  6i=1(lnxi2
 75.3 24.6 18.3 101.4
(Ⅰ)根據所給數(shù)據,求y關于x的回歸方程;
(Ⅱ)規(guī)定當產品的年銷售量y(單位:噸)與年宣傳費x(單位:萬元)的比值在區(qū)間(e9,e7)內時認為該年效益良好.現(xiàn)從這6年中任選3年,記其中選到效益良好的數(shù)量為ξ,求隨機變量ξ的分布列和期望.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù),e≈2.7183)
附:對于一組數(shù)據(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=β•u+a中的斜率和截距的最小二乘估計分別為:\widehat{β}=\frac{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}•{v}_{i})-n(\overline{u}•\overline{v})}{{\sum_{i=1}^{n}u}_{i}^{2}-n(\overline{u})^{2}},\stackrel{∧}{a}=\overline{v}-\stackrel{∧}{β}\overline{u}

分析 (Ⅰ)對y=a•bx,(a>0,b>0)兩邊取對數(shù),得lny=b•lnx+lna,令μi=lnxi,vi=lnyi,得v=b•μ+lna,利用最小二乘法求出得a=e,由此能求出y關于x的回歸方程.
(Ⅱ)由題意得到ξ的可能取值為0,1,2,3,分別求出相應的概率,由此能求出ξ的分布列和E(ξ).

解答 解:(Ⅰ)對y=a•bx,(a>0,b>0)兩邊取對數(shù),得lny=b•lnx+lna,
令μi=lnxi,vi=lnyi,得v=b•μ+lna,
由題所給的數(shù)據得:
\overline{μ}=\frac{24.6}{6}=4.1,\overline{v}=\frac{18.3}{6}=3.05,
\sum_{i=1}^{6}({μ}_{i}•{v}_{i})=\sum_{i=1}^{6}(ln{x}_{i}•ln{y}_{i})=75.3,
\sum_{i=1}^{6}(ln{x}_{i})^{2}=101.4,
\widehat{β}=\frac{\sum_{i=1}^{n}({μ}_{i}•{v}_{i})-n(\overline{μ}•\overline{v})}{\sum_{i=1}^{n}{{μ}_{i}}^{2}-n(\overline{μ})^{2}},\widehat{α}=\overline{v}-\widehat{β}•\overline{μ},
lna=\overline{v}-b•\overline{μ}=3.05-\frac{1}{2}×4.1=1,得a=e,
∴y關于x的回歸方程為y=e•\sqrt{x}
(Ⅱ)由(Ⅰ)中所求回歸方程,得\frac{y}{x}=\frac{e}{\sqrt{x}}∈(\frac{e}{9},\frac{e}{7}),則x∈(49,81),
∴x=58,68,78,∴ξ的可能取值為0,1,2,3,
P(ξ=0)=\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{20},
P(ξ=1)=\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{9}{20},
P(ξ=2)=\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{9}{20}
P(ξ=3)=\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{3}^{0}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{20},
∴ξ的分布列為:

ξ 0 1 2
 P \frac{1}{20} \frac{9}{20} \frac{9}{20} \frac{1}{20}
E(ξ)=0×\frac{1}{20}+1×\frac{9}{20}+2×\frac{9}{20}+3×\frac{1}{20}=\frac{3}{2}

點評 本題考查回歸方程的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法,考查推理論證能力、運算求解能力,考查等價轉化思想,是中檔題.

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