Question

17．某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：噸）的影響，對近六年的年宣傳費x_i和年銷售量y_i（i=1，2，3，4，5，6）的數(shù)據作了初步統(tǒng)計，得到如下數(shù)據：

年份	2011	2012	2013	2014	2015	2016
年宣傳費x（萬元）	38	48	58	68	78	88
年銷售量y（噸）	16.8	18.8	20.7	22.4	24	25.5

經電腦模擬發(fā)現(xiàn)年宣傳費x（單位：萬元）與年銷售量y（單位：噸）之間近似滿足關系式：y=a•x^b（a，b＞G），即lny=b•lnx+lna，對上述數(shù)據作了初步處理，得到相關的值如下表：

$\sum_{i=1}^{6}$（lnxi•lnyi）	$\sum_{i=1}^{6}$（lnxi）	$\sum_{i=1}^{6}$（lnyi）	$\sum_{i=1}^{6}$（lnxi）2
75.3	24.6	18.3	101.4

（Ⅰ）根據所給數(shù)據，求y關于x的回歸方程；
（Ⅱ）規(guī)定當產品的年銷售量y（單位：噸）與年宣傳費x（單位：萬元）的比值在區(qū)間（$\frac{e}{9}$，$\frac{e}{7}$）內時認為該年效益良好．現(xiàn)從這6年中任選3年，記其中選到效益良好的數(shù)量為ξ，求隨機變量ξ的分布列和期望．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.7183）
附：對于一組數(shù)據（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=β•u+a中的斜率和截距的最小二乘估計分別為：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}•{v}_{i}）-n（\overline{u}•\overline{v}）}{{\sum_{i=1}^{n}u}_{i}^{2}-n（\overline{u}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$•$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對y=a•b^x，（a＞0，b＞0）兩邊取對數(shù)，得lny=b•lnx+lna，令μ_i=lnx_i，v_i=lny_i，得v=b•μ+lna，利用最小二乘法求出得a=e，由此能求出y關于x的回歸方程．
（Ⅱ）由題意得到ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）對y=a•b^x，（a＞0，b＞0）兩邊取對數(shù)，得lny=b•lnx+lna，
令μ_i=lnx_i，v_i=lny_i，得v=b•μ+lna，
由題所給的數(shù)據得：
$\overline{μ}=\frac{24.6}{6}=4.1$，$\overline{v}$=$\frac{18.3}{6}$=3.05，
$\sum_{i=1}^{6}（{μ}_{i}•{v}_{i}）=\sum_{i=1}^{6}（ln{x}_{i}•ln{y}_{i}）$=75.3，
$\sum_{i=1}^{6}（ln{x}_{i}）^{2}=101.4$，
∴$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{μ}_{i}•{v}_{i}）-n（\overline{μ}•\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}{{μ}_{i}}^{2}-n（\overline{μ}）^{2}}$，$\widehat{α}=\overline{v}-\widehat{β}•\overline{μ}$，
$lna=\overline{v}-b•\overline{μ}$=3.05-$\frac{1}{2}×4.1$=1，得a=e，
∴y關于x的回歸方程為$y=e•\sqrt{x}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中所求回歸方程，得$\frac{y}{x}=\frac{e}{\sqrt{x}}∈（\frac{e}{9}，\frac{e}{7}）$，則x∈（49，81），
∴x=58，68，78，∴ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{3}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{20}$

E（ξ）=0×$\frac{1}{20}+1×\frac{9}{20}+2×\frac{9}{20}+3×\frac{1}{20}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查回歸方程的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查等價轉化思想，是中檔題．