Question

7．已知函數(shù)$f（x）={（\frac{1}{2}）^{sinx}}，x∈[0，\frac{5π}{6}]$，則f（x）的值域為[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)的性質可知f（x）=$（\frac{1}{2}）^{u}$是減函數(shù)，u=sinx，x∈[0，$\frac{5π}{6}$]求出函數(shù)u的值域，可知函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：由題意，令u=sinx，x∈[0，$\frac{5π}{6}$]，
根據(jù)正弦函數(shù)的性質可知：u∈[0，1]
則f（x）=$（\frac{1}{2}）^{u}$是減函數(shù)，
當u=0時，函數(shù)f（x）取值最大值為1．
當u=1時，函數(shù)f（x）取值最小值為$\frac{1}{2}$．
∴函數(shù)$f（x）={（\frac{1}{2}）^{sinx}}，x∈[0，\frac{5π}{6}]$，則f（x）的值域為[$\frac{1}{2}$，1]．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題考查的復合函數(shù)的值域問題．要抓住基本函數(shù)的值域，清楚復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復合而來．屬于基礎題．