15．已知拋物線M：y2=3x，過點(diǎn)（3，0）的直線l交拋物線M于A，B兩點(diǎn)，則∠AOB=90°．

分析 設(shè)直線l的方程為x=ty+3，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理求得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，則∠AOB=90°．

解答 解：依題意知直線l斜率不為0，則可設(shè)直線l的方程為x=ty+3，
代入y2=3x，得y2-3ty-9=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=3t，y1y2=-9．
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y1，
=（ty1+3）（ty2+3）+y1y1，
=（1+t2）y1y1+3t（y1+y2）+9，
=（1+t2）（-9）+3t×3t+9，
=0
所以$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，即∠AOB=90°．
故答案為：90°．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P是A1C1上任意一點(diǎn)，記平面PAB、平面PBC與下底面所成的二面角分別為α，β，則tan（α+β）的最小值為-$\frac{4}{3}$．

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6．已知函數(shù)f（x）=（x2-a）e1-x，g（x）=f（x）+ae1-x-a（x-1）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=1時，求g（x）在（$\frac{3}{4}$，2）上的最大值；
（3）當(dāng)f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2）時，總有x2f（x1）≤λg′（x1），求實(shí)數(shù)λ的值（g′（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)）

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3．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，E為C的上頂點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線EF的距離為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)$（0，-\frac{2}{3}）$且斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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10．為了解某高校學(xué)生中午午休時間玩手機(jī)情況，隨機(jī)抽取了100名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均午休時間的頻率分布直方圖：將日均午休時玩手機(jī)不低于40分鐘的學(xué)生稱為“手機(jī)控”．
非手機(jī)迷手機(jī)迷合計
男xxm
女y1055
合計75      25           100       
（1）求列表中數(shù)據(jù)的值；
（2）能否有95%的把握認(rèn)為“手機(jī)控”與性別有關(guān)？
注：k2=$\frac{n（ac-bd）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
P（k2≥x0）0.050.10
k03.8416.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{3-m}$=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，命題q：關(guān)于x的方程x2+2mx+m+3=0無實(shí)根．
（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．已知四棱錐P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且PD=PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，∠BCD=$\frac{2π}{3}$，△ABD是等邊三角形，AC∩BD=E．
（1）證明：PC⊥平面PAD；
（2）求二面角P-AB-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．設(shè)點(diǎn)A、F（c，0）分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，直線$x=\frac{a^2}{c}$交該雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)P．若△PAF是等腰三角形，則此雙曲線的離心率為2．

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5．某教師為了分析所任教班級某將考試的成績，將全班同學(xué)的成績做出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖．
分組頻數(shù)頻率
[50，60）30.06
[60，70）m0.10
[70，80）13n
[80，90）pq
[90，100]90.18
總計t1
（1）求表中t，q及圖中a的值；
（2）該教師從這次考試成績低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行面批，設(shè)X表示所抽取學(xué)生中成績低于60分的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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