我們在下面的表格內(nèi)填寫數(shù)值:先將第1行的所有空格填上1;再把一個首項為1,公比為q的數(shù)列{an}依次填入第一列的空格內(nèi);然后按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫其它空格.
第1列 第2列 第3列 第n列
第1行 1 1 1 1
第2行 q
第3行 q2
第n行 qn-1
(1)設(shè)第2行的數(shù)依次為B1,B2,…,Bn,試用n,q表示B1+B2+…+Bn的值;
(2)設(shè)第3列的數(shù)依次為c1,c2,c3,…,cn,求證:對于任意非零實數(shù)q,c1+c3>2c2;
(3)請在以下兩個問題中選擇一個進(jìn)行研究 (只能選擇一個問題,如果都選,被認(rèn)為選擇了第一問).
①能否找到q的值,使得(2)中的數(shù)列c1,c2,c3,…,cn的前m項c1,c2,…,cm (m≥3)成為等比數(shù)列?若能找到,m的值有多少個?若不能找到,說明理由.
②能否找到q的值,使得填完表格后,除第1列外,還有不同的兩列數(shù)的前三項各自依次成等比數(shù)列?并說明理由.
(1)由題意得,B1=q,B2=1+q,
B3=1+(1+q)=2+q,…,Bn=(n-1)+q,
∴B1+B2+…+Bn=1+2+…+(n-1)+nq=
n(n-1)
2
+nq

(2)由題意得,c1=1,c2=1+(1+q)=2+q,
c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2,
由 c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2(2+q)=q2>0,
即 c1+c3>2c2.  
(3)①先設(shè)c1,c2,c3成等比數(shù)列,由c1c3=
c22
得,
 3+2q+q2=(2+q)2,q=-
1
2

此時 c1=1,c2=
3
2
c3=
9
4
,
∴c1,c2,c3是一個公比為
3
2
的等比數(shù)列. 
如果m≥4,c1,c2,…,cm為等比數(shù)列,那么c1,c2,c3一定是等比數(shù)列.
由上所述,此時q=-
1
2
,c1=1,c2=
3
2
,c3=
9
4
c4=
23
8
,
由于
c4
c3
3
2
,因此,對于任意m≥4,c1,c2,…,cm一定不是等比數(shù)列.
綜上所述,當(dāng)且僅當(dāng)m=3且q=-
1
2
時,數(shù)列c1,c2,…,cm是等比數(shù)列.
②設(shè)x1,x2,x3和y1,y2,y3分別為第k+1列和第m+1列的前三項,1≤k<m≤n-1,
x1=1,x2=k+q,x3=(1+2+3+…+k)+kq+q2=
k(k+1)
2
+kq+q2
,
若第k+1列的前三項x1,x2,x3是等比數(shù)列,則
x1x3=
x22
,得
k(k+1)
2
+kq+q2=(k+q)2
k2-k
2
+kq=0
,q=
1-k
2
,
同理,若第m+1列的前三項y1,y2,y3是等比數(shù)列,則q=
1-m
2

當(dāng)k≠m時,
1-k
2
1-m
2

所以,無論怎樣的q,都不能同時找到兩列數(shù)(除第1列外),使它們的前三項都成等比數(shù)列.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我們在下面的表格內(nèi)填寫數(shù)值,先將第1行的所有空格填上1,再把一個首項為1,公比為q的等比數(shù)列{an}依次填入第一列的空格內(nèi),然后按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫其他空格.
第1列 第2列 第3列 第n列
第1行 1 1 1 1
第2行 q
第3行 q2
第n行 qn-1
(Ⅰ)設(shè)第2行的數(shù)依次為b1,b2,b3,…,bn,試用n、q表示b1+b2+b3+…+bn的值;
(Ⅱ)設(shè)第3列的數(shù)依次為c1,c2,c3,…,cn,求證:對于任意非零實數(shù)q,總有cm-1+cm+1>2cm成立(其中2≤m≤n-1且m為偶數(shù));
(Ⅲ)能否找到一個實數(shù)q的值,使得填完表格后,除第1列外,還有不同的兩列數(shù)的前三項各自依次成等比數(shù)列?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•上海)我們在下面的表格內(nèi)填寫數(shù)值:先將第1行的所有空格填上1;再把一個首項為1,公比為q的數(shù)列{an}依次填入第一列的空格內(nèi);然后按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫其它空格.
第1列 第2列 第3列 第n列
第1行 1 1 1 1
第2行 q
第3行 q2
第n行 qn-1
(1)設(shè)第2行的數(shù)依次為B1,B2,…,Bn,試用n,q表示B1+B2+…+Bn的值;
(2)設(shè)第3列的數(shù)依次為c1,c2,c3,…,cn,求證:對于任意非零實數(shù)q,c1+c3>2c2
(3)請在以下兩個問題中選擇一個進(jìn)行研究 (只能選擇一個問題,如果都選,被認(rèn)為選擇了第一問).
①能否找到q的值,使得(2)中的數(shù)列c1,c2,c3,…,cn的前m項c1,c2,…,cm (m≥3)成為等比數(shù)列?若能找到,m的值有多少個?若不能找到,說明理由.
②能否找到q的值,使得填完表格后,除第1列外,還有不同的兩列數(shù)的前三項各自依次成等比數(shù)列?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

21.我們在下面的表格內(nèi)填寫數(shù)值:先將第1行的所有空格填上1;再把一個首項為1,公比為的數(shù)列依次填入第一列的空格內(nèi);然后按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫其它空格.

 

第1列

第2列

第3列

第1行

1

1

1

1

第2行

 

 

 

 

第3行

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) 設(shè)第2行的數(shù)依次為,試用表示的值;

(2) 設(shè)第3列的數(shù)依次為,求證:對于任意非零實數(shù);

(3) 請在以下兩個問題中選擇一個進(jìn)行研究 (只能選擇一個問題,如果都選,被認(rèn)為選擇了第一問).

    ① 能否找到的值,使得(2) 中的數(shù)列的前 () 成為等比數(shù)列?若能找到,m的值有多少個?若不能找到,說明理由.

    ② 能否找到的值,使得填完表格后,除第1列外,還有不同的兩列數(shù)的前三項各自依次成等比數(shù)列?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

我們在下面的表格內(nèi)填寫數(shù)值:先將第1行的所有空格填上1;再把一個首項為1,公比為q的數(shù)列{an}依次填入第一列的空格內(nèi);然后按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫其它空格.
第1列第2列第3列第n列
第1行1111
第2行q
第3行q2
第n行qn-1
(1)設(shè)第2行的數(shù)依次為B1,B2,…,Bn,試用n,q表示B1+B2+…+Bn的值;
(2)設(shè)第3列的數(shù)依次為c1,c2,c3,…,cn,求證:對于任意非零實數(shù)q,c1+c3>2c2;
(3)請在以下兩個問題中選擇一個進(jìn)行研究 (只能選擇一個問題,如果都選,被認(rèn)為選擇了第一問).
①能否找到q的值,使得(2)中的數(shù)列c1,c2,c3,…,cn的前m項c1,c2,…,cm (m≥3)成為等比數(shù)列?若能找到,m的值有多少個?若不能找到,說明理由.
②能否找到q的值,使得填完表格后,除第1列外,還有不同的兩列數(shù)的前三項各自依次成等比數(shù)列?并說明理由.

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