Question

【題目】已知函數(shù)x3x2﹣2x（a∈R）.

（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若對(duì)于任意x∈都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若過點(diǎn)可作函數(shù)圖象的三條不同切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（﹣∞，1）和（2，+∞）；（2）（﹣1，8）；（3）（2，+∞）.

【解析】

（1）當(dāng)a=3時(shí)，，得=﹣x2+3x﹣2，則由0求解.

（2）由，得，根據(jù)對(duì)于任意x∈[1，+∞）都有2（a﹣1）成立，則轉(zhuǎn)化為，對(duì)于任意x∈[1，+∞）都有[]max2（a﹣1）.因?yàn)?/span>，再利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.

（3）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)y=f（x）圖象上的切點(diǎn)，過點(diǎn)P的切線方程為. 根據(jù)點(diǎn)在切線上，整理得.，根據(jù)過點(diǎn)可作函數(shù)y=f（x）圖象的三條不同切線，則方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，再令，要求函數(shù)y=g（t）與t軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)即可.

（1）當(dāng)a=3時(shí)，，得=﹣x2+3x﹣2.

因?yàn)?/span>0，得x1或x2，

所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1）和（2，+∞）.

（2）由，得，

因?yàn)閷?duì)于任意x∈[1，+∞）都有2（a﹣1）成立，

所以問題轉(zhuǎn)化為，對(duì)于任意x∈[1，+∞）都有[]max2（a﹣1）.

因?yàn)?/span>，其圖象開口向下，對(duì)稱軸為.

①當(dāng)時(shí)，即a2時(shí)，f'（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以max==a﹣3，

由a﹣32（a﹣1），得a﹣1，此時(shí)﹣1a2.

②當(dāng)時(shí)，即a2時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，

由，得0a8，此時(shí)2a8.

綜上①②可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣1，8）.

（3）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)y=f（x）圖象上的切點(diǎn)，

則過點(diǎn)P的切線的斜率為k==﹣t2+at﹣2，

所以過點(diǎn)P的切線方程為.

因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，

所以，

即.

若過點(diǎn)可作函數(shù)y=f（x）圖象的三條不同切線，

則方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

令，則函數(shù)y=g（t）與t軸有三個(gè)不同的交點(diǎn).

令=2t2﹣at=0，解得t=0或.

因?yàn)?/span>，，

所以必須，即a2.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2，+∞）.