如圖，以橢圓（a＞b＞0）的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點F（c，0）（c＞b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點A。連結OA交小圓于點B，設直線BF是小圓的切線，
（1）證明c2=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；
（2）設直線BF交橢圓于P、Q兩點，證明。

（1）證明：由題設條件知，，故，
即，因此； ①
解：在中，，
于是，直線OA的斜率，
設直線BF的斜率為k，則，
這時，直線BF的方程為，
令x=0，則，
所以直線BF與y軸的交點為M（0，a）；
（2）證明：由（1），得直線BF的方程為y=kx+a，且，②
由已知，設，
則它們的坐標滿足方程組， ③
由方程組③消去y，并整理得，④
由式①、②和④，，
由方程組③消去x，并整理得，⑤
由式②和⑤，；
綜上，得到，
注意到，
得
。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，以橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點F（c，0）（c＞b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點A．連接OA交小圓于點B．設直線BF是小圓的切線．
（1）求證c2=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；
（2）設直線BF交橢圓于P、Q兩點，求證
OP
•
OQ
=
1
2
b2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，兩個工廠A，B（視為兩個點）相距2km，現(xiàn)要在以A，B為焦點，長軸長為4km的橢圓上某一點P處建一幢辦公樓．據(jù)測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP成反比，比例系數(shù)是1；辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP也成反比，比例系數(shù)是4．辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設AP=xkm．
（I）求“總噪音影響度”y關于x的函數(shù)關系式；
（II）當AP為多少時，“總噪音影響度”最小？（結果保留一位小數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（06年天津卷理）（14分）

如圖，以橢圓的中心O為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點A。連結OA交小圓于點B。設直線BF是小圓的切線。

  

（I）證明并求直線BF與同的交點M的坐標；

（II）設直線BF交橢圓P、Q兩點，證明

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(22)如圖，以橢圓(a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點F(c，0)(c＞b)作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點A.連結OA交小圓于點B．設直線BF是小圓的切線．

(Ⅰ)證明c2=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；

(Ⅱ)設直線BF交橢圓于P、Q兩點，證明·=b2．

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