【題目】已知橢圓C: =1的離心率為 ,焦距為2,右焦點為F,過點F的直線交橢圓于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)在x軸上是否存在定點M,使得 為定值?若存在,求出定值和定點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:由題意可得2c=2,e= = ,
可得c=1,a= ,b= =1,
即有橢圓的方程為 +y2=1
(2)解:在x軸上假設(shè)存在定點M(m,0),使得 為定值.
若直線的斜率存在,設(shè)AB的斜率為k,F(xiàn)(1,0),
由y=k(x﹣1)代入橢圓方程x2+2y2=2,
可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
x1+x2= ,x1x2= ,
y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2[x1x2+1﹣(x1+x2)]
=k2( +1﹣ )=﹣ ,
則 =(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2=x1x2+m2﹣m(x1+x2)+y1y2
= +m2﹣m ﹣ = ,
欲使得 為定值,則2m2﹣4m+1=2(m2﹣2),
解得m= ,
此時 = ﹣2=﹣ ;
當(dāng)AB斜率不存在時,令x=1,代入橢圓方程,可得y=± ,
由M( ,0),可得 ﹣ ,符合題意.
故在x軸上存在定點M( ,0),使得 為定值﹣
【解析】(1)由題意可得c=1,運用離心率公式可得a= ,由a,b,c的關(guān)系可得b=1,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)在x軸上假設(shè)存在定點M(m,0),使得 為定值.若直線的斜率存在,設(shè)AB的斜率為k,F(xiàn)(1,0),由y=k(x﹣1)代入橢圓方程,運用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,結(jié)合恒成立思想,即可得到定點和定值;檢驗直線AB的斜率不存在時,也成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知c>0,設(shè)命題p:函數(shù)y=cx為減函數(shù);命題q:當(dāng)x∈[ ,2]時,函數(shù)f(x)=x+ > 恒成立,如果p∨q為真命題,p∧q為假命題,求c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,,且.
(1)求證:平面⊥平面;
(2)設(shè)是的中點,判斷并證明在線段上是否存在點,使‖平面;若存在,求三棱錐的體積.
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【題目】如圖放置的邊長為1的正方形 沿 軸滾動(向右為順時針,向左為逆時針).設(shè)頂點 的軌跡方程是,則關(guān)于的最小正周期及在其兩個相鄰零點間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積S的正確結(jié)論是( )
A. B.
C. D.
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【題目】已知動圓M過定點P(1,0),且與直線x=﹣1相切.
(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)A、B是軌跡C上異于原點O的兩點,且 =0,求證:直線AB過定點.
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【題目】從裝有個紅球和個黒球的口袋內(nèi)任取個球,那么互斥而不對立的兩個事件是( )
A.至少有一個黒球與都是黒球
B.至少有一個黑球與都是紅球
C.至少有一個黒球與至少有個紅球
D.恰有個黒球與恰有個黒球
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【題目】函數(shù)f(x)= 是定義在區(qū)間(﹣1,1)上的奇函數(shù),且f(2)= ,
(1)確定函數(shù)f(x)的解析式;
(2)用定義法證明f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上是增函數(shù);
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.
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【題目】【2017省息一中第七次適應(yīng)性考】已知函數(shù)(),且的導(dǎo)數(shù)為.
(Ⅰ)若是定義域內(nèi)的增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若方程有3個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由資料知,y對x呈線性相關(guān)關(guān)系,試求:
(Ⅰ)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;
(Ⅱ)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程=bx+;
(Ⅲ)估計使用年限為10年時,維修費用約是多少?
(參考數(shù)據(jù):2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3)
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