Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+alnx（a≠0，a∈R）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；
（2）若在區(qū)間（0，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)和駐點(diǎn)，然后列表討論，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若在區(qū)間（0，e]上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜0成立，其充要條件是f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值小于0即可．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)（0，e]上的最小值，先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后討論研究函數(shù)在（0，e]上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最小的一個(gè)就是最小值．

解答 解：（1）因?yàn)閒′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，（2分）
當(dāng)a=1，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f'（x）=0，得x=1，（3分）
又f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以x=1時(shí)，f（x）的極小值為1．（5分）
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；（6分
（2）∵f′（x）=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，（a≠0，a∈R）．
令f′（x）=0，得到x=$\frac{1}{a}$，
若在區(qū)間[0，e]上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜0成立，
其充要條件是f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值小于0即可．
（i）當(dāng)x=$\frac{1}{a}$＜0，即a＜0時(shí)，f′（x）＜0對(duì)x∈（0，+∞）成立，
∴f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，
故f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為f（e）=$\frac{1}{e}$+alne=$\frac{1}{e}$+a，
由$\frac{1}{e}$+a＜0，得a＜-$\frac{1}{e}$；
（ii）當(dāng)x=$\frac{1}{a}$＞0，即a＞0時(shí)，
①若e≤$\frac{1}{a}$，則f′（x）≤0對(duì)x∈（0，e]成立，
∴f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為f（e）=$\frac{1}{e}$+alne=$\frac{1}{e}$+a＞0，
顯然，f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值小于0不成立．
②若1＜$\frac{1}{a}$＜e，即a＞$\frac{1}{e}$時(shí)，則有

x	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，e）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

∴f（x）在區(qū)間[0，e]上的最小值為f（$\frac{1}{a}$）=a+aln$\frac{1}{a}$，
由f（$\frac{1}{a}$）=a+aln$\frac{1}{a}$=a（1-lna）＜0，
得1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．
綜上，由（1）（2）可知：a∈（-∞，-$\frac{1}{e}$）∪（e，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．