Question

6．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinA，sinB，sinC依次成等比數(shù)列，c=2a且$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=24，則△ABC的面積是4$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由已知及等比數(shù)列的性質(zhì)可得sin²B=sinAsinC，由正弦定理可得b²=ac，進而可求c=2a，b=$\sqrt{2}$a，由余弦定理可求cosB，利用同角三角函數(shù)基本關系式可得sinB的值，利用平面向量數(shù)量積的運算可求ac的值，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比數(shù)列，
∴sin²B=sinAsinC，由正弦定理可得：b²=ac，
∵c=2a，可得：b=$\sqrt{2}$a，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-2{a}^{2}}{2a×2a}$=$\frac{3}{4}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=24，可得：accosB=$\frac{3}{4}$ac=24，解得：ac=32，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×32×\frac{\sqrt{7}}{4}$=4$\sqrt{7}$．
故答案為：4$\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，平面向量數(shù)量積的運算，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．