已知:函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值.
(2)求f(x)的解析式.
(3)已知a∈R,設P:當0<x<
12
時,不等式f(x)+3<2x+a恒成立;Q:當x∈[-2,2]時,g(x)=f(x)-ax是單調(diào)函數(shù).如果滿足P成立的a的集合記為A,滿足Q成立的a的集合記為B,求A∩CRB(R為全集).
分析:(1)對抽象函數(shù)滿足的函數(shù)值關系的理解和把握是解決該問題的關鍵,對自變量適當?shù)馁x值可以解決該問題,結(jié)合已知條件可以賦x=-1,y=1求出f(0);
(2)在(1)基礎上賦值y=0可以實現(xiàn)求解f(x)的解析式的問題;
(3)利用(2)中求得的函數(shù)的解析式,結(jié)合恒成立問題的求解策略,即轉(zhuǎn)化為相應的二次函數(shù)最值問題求出集合A,利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解策略求出集合B.
解答:解:(1)令x=-1,y=1,則由已知f(0)-f(1)=-1(-1+2+1)
∴f(0)=-2
(2)令y=0,則f(x)-f(0)=x(x+1)
又∵f(0)=-2
∴f(x)=x2+x-2
(3)不等式f(x)+3<2x+a即x2+x-2+3<2x+a
也就是x2-x+1<a.由于當0<x<
1
2
時,
3
4
x2-x+1<1
,又x2-x+1=(x-
1
2
)2+
3
4
<a
恒成立,
故A={a|a≥1},g(x)=x2+x-2-ax=x2+(1-a)x-2 對稱軸x=
a-1
2
,
又g(x)在[-2,2]上是單調(diào)函數(shù),故有
a-1
2
≤-2,或
a-1
2
≥2
,
∴B={a|a≤-3,或a≥5},CRB={a|-3<a<5}
∴A∩CRB={a|1≤a<5}.
點評:本題考查抽象函數(shù)解析式的求解,考查賦值法求函數(shù)值、函數(shù)解析式的思想,考查恒成立問題的解決方法、考查二次函數(shù)單調(diào)性的影響因素,考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足f(2-x)=f(x)且當x∈[0,1]時,f(x)=x•4x,則在區(qū)間[0,8]上,不等式f(x)>1的解是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)對任意的正實數(shù)x1,x2(x1≠x2),恒有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,則一定正確的是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,總有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)<0,f(1)=-
23

(1)求證:f(x)是R上的減函數(shù).
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
(3)若f(x)+f(x-3)≤-2,求實數(shù)x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)對x∈R都有f(x+2)=-f(x)成立,若f(1)=2,則f(2011)等于( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案