Question

8．若x、y滿足x²+y²-2x+4y-20=0，則x²+y²的最小值是（　�。�

• A． $\sqrt{5}$-5
• B． 5-$\sqrt{5}$
• C． 30-10$\sqrt{5}$
• D． 無(wú)法確定

Answer 1

分析 把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑r，設(shè)圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），原點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），則x²+y²表示圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)之間的距離的平方，根據(jù)圖象可知此距離的最小值為圓的半徑r減去圓心到原點(diǎn)的距離，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心到原點(diǎn)的距離，利用半徑減去求出的距離，然后平方即為x²+y²的最小值．

解答 解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：
（x-1）²+（y+2）²=25，則圓心A坐標(biāo)為（1，-2），圓的半徑r=5，
設(shè)圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），原點(diǎn)O坐標(biāo)為（0，0），
則|AO|=$\sqrt{5}$，|AB|=r=5，
所以|BO|=|AB|-|OA|=5-$\sqrt{5}$．
則x²+y²的最小值為（5-$\sqrt{5}$）²=30-10$\sqrt{5}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生會(huì)把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并會(huì)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)與半徑，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．