【題目】如圖所示,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn).
(1)求證:B1D1∥面A1BD;
(2)求證:MD⊥AC;
(3)試確定點(diǎn)M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
【答案】解:(1)證明:由直四棱柱,得BB1∥DD1且BB1=DD1 , 所以BB1D1D是平行四邊形,
所以B1D1∥BD.
而B(niǎo)D平面A1BD,B1D1平面A1BD,
所以B1D1∥平面A1BD.
(2)證明:因?yàn)锽B1⊥面ABCD,AC面ABCD,所以BB1⊥AC,
又因?yàn)锽D⊥AC,且BD∩BB1=B,
所以AC⊥面BB1D,
而MD面BB1D,所以MD⊥AC.
(3)當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí),平面DMC1⊥平面CC1D1D
取DC的中點(diǎn)N,D1C1的中點(diǎn)N1 , 連接NN1交DC1于O,連接OM.
因?yàn)镹是DC中點(diǎn),BD=BC,所以BN⊥DC;又因?yàn)镈C是面ABCD與面DCC1D1的交線,而面ABCD⊥面DCC1D1 ,
所以BN⊥面DCC1D1 .
又可證得,O是NN1的中點(diǎn),所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四邊形,所以BN∥OM,所以O(shè)M⊥平面CC1D1D,因?yàn)镺M面DMC1 , 所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.
【解析】(1)在平面A1BD內(nèi)找到和B1D1平行的直線BD即可.利用線線平行來(lái)推線面平行.
(2)先利用條件BB1⊥AC和BD⊥AC證得AC⊥面BB1D,再證明MD⊥AC即可.
(3)因?yàn)槔釨B1上最特殊的點(diǎn)是中點(diǎn),所以先看中點(diǎn).取DC的中點(diǎn)N,D1C1的中點(diǎn)N1 , 連接NN1交DC1于O,BN⊥DC面ABCD⊥面DCC1D1 ,
BN⊥面DCC1D1 . 而又可證得BN∥OM,所以可得OM⊥平面CC1D1D平面DMC1⊥平面CC1D1D.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的判定和平面與平面垂直的判定,需要了解一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,AB為⊙O的直徑,直線CD與⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,連接AE,BE.
證明:(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=AD·BC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為, .
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)令,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求;
(3)令,若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在梯形BCDE中,BC∥DE,BA⊥DE,且EA=DA=AB=2CB=2,沿AB將四邊形ABCD折起,使得平面ABCD與平面ABE垂直,M為CE的中點(diǎn).
(1)求證:AM⊥BE;
(2)求三棱錐C﹣BED的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知, 分別為橢圓: 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)設(shè)直線的斜率為,直線與橢圓交于, 兩點(diǎn),若點(diǎn)在第一象限,且,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)棱平面, 為等腰直角三角形, , , 分別是, 的中點(diǎn),且.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若,求點(diǎn)到平面的距離 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題:“今有蒲(水生植物名)生一日,長(zhǎng)三尺;莞(植物名,俗稱水蔥、席子草)生一日,長(zhǎng)一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等?”意思是:今有蒲生長(zhǎng)1日,長(zhǎng)為3尺;莞生長(zhǎng)1日,長(zhǎng)為1尺.蒲的生長(zhǎng)逐日減半,莞的生長(zhǎng)逐日增加1倍.若蒲、莞長(zhǎng)度相等,則所需的時(shí)間約為(結(jié)果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù):,)
A.1.3日 B.1.5日
C.2.6日 D.2.8日
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為, , .
(1)求平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在中,求邊上的高所在直線方程;
(3)求四邊形的面積.
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