Question

已知：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過(guò)點(diǎn)A（-a，0），B（0，b）的直線(xiàn)傾斜角為

π

6

，原點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率大于零的直線(xiàn)過(guò)D（-1，0）與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若

ED

=2

DF

，求直線(xiàn)EF的方程；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k，直線(xiàn)y=kx+2交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）由

b

a

=

3

3

，

1

2

a•b=

1

2

•

3

2

•

a2+b2

，
得a=

3

，b=1，
所以橢圓方程是：

x2

3

+y2=1
（2）設(shè)EF：x=my-1（m＞0）
代入

x2

3

+y2=1，得（m²+3）y²-2my-2=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由

ED

=2

DF

，
得y₁=-2y₂．
由y1+y2=-y2=

2m

m2+3

，y1y2=-2y22=

-2

m2+3

得(-

2m

m2+3

)2=

1

m2+3

，
∴m=1，m=-1（舍去），
直線(xiàn)EF的方程為：x=y-1即x-y+1=0
（3）將y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，
得（3k²+1）x²+12kx+9=0（*）
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵PQ為直徑的圓過(guò)D（-1，0），
則PD⊥QD，
即（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
得(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=

-12k+14

3k2+1

=0．
解得k=

7

6

，
此時(shí)（*）方程△＞0，
∴存在k=

7

6

，滿(mǎn)足題設(shè)條件．