Question

4．已知全集U=R，集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|2≤4^x≤8}，C={x|a-4＜x≤2a-7}．
（1）求（∁_UA）∩B；
（2）若A∩C=C，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意和補(bǔ)集的運(yùn)算求出∁_UA，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出B，由交集的運(yùn)算求出（∁_UA）∩B；
（2）由A∩C=C得C⊆A，對C分類討論，由子集的定義分別列出不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解（1）∵全集U=R，集合A={x|-1＜x＜1}，
∴∁_UA={x|x≤-1或x≥1}，
∵B={x|2≤4^x≤8}={x|1≤2x≤3}={x|$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$}，
∴（∁_UA）∩B={x|1≤x≤$\frac{3}{2}$}；
（2）由A∩C=C得，C⊆A，且C={x|a-4＜x≤2a-7}，
①當(dāng)C=∅時，a-4≥2a-7，解得a≤3；
②當(dāng)C≠∅時，則$\left\{\begin{array}{l}{2a-7＞a-4}\\{a-4≥-1}\\{2a-7＜1}\end{array}\right.$，解得3＜a＜4，
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，4）．

點(diǎn)評 本題考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，子集的定義，以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想．