Question

矩陣與變換．已知矩陣A=

1 a -1 b

，A的一個特征值λ=2，屬于λ的特征向量是

α1

=

2 1

，求矩陣A與其逆矩陣．
坐標系與參數(shù)方程已知直線l的極坐標方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，在曲線C：

x=-1+cosθ y=sinθ

(θ為參數(shù))上求一點，使它到直線l的距離最小，并求出該點坐標和最小距離．

Answer 1

分析：A：根據(jù)特征值的定義可知Aα=λα，利用待定系數(shù)法建立等式關系，從而可求矩陣A，再利用公式求逆矩陣．
B：將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C任意點P的坐標為（-1+cosθ，sinθ），利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進而得到距離d的最小值，并求出此時θ的度數(shù)，即可確定出所求點P的坐標．

解答：解：A：由題意知

1 a -1 b

2′ 1′

=2

2′ 1′

，
得

2+a=4 -2+b=2

，
解得

a=2 b=4

，
∴A=

1 2 -1 4

，
∴A^-1=

2 3 - 1 3 1 6 1 6

．
B：將直線l化為普通方程得：x+y-1=0，
設所求的點為P（-1+cosθ，sinθ），
則P到直線l的距離d=

|-1+cosθ+sinθ-1|

2

=|sin（θ+

π

4

）-

2

|，
當θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

4

時，sin（θ+

π

4

）=1，d取得最小值

2

-1，
此時點P的坐標為（-1+

2

2

，

2

2

）．

點評：A：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，同時考查了逆矩陣求解公式，屬于基礎題．
B：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有直線與圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，點到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)曲線C的參數(shù)方程設出所求P的坐標，根據(jù)點到直線的距離公式表示出d，進而利用三角函數(shù)來解決問題是解本題的思路．