Question

1．2016年里約奧運會和殘奧會吉祥物的名字于2015年12月14日揭曉，兩個吉祥物分別叫維尼修斯（Vinicius）和湯姆（Tom）（如圖），以此紀(jì)念巴薩諾瓦曲風(fēng)的著名音樂家Vinicius de Moraes和Tom Jobim．某商場抽獎箱中放置了除圖案外，其他無差別的8張卡片，其中有2張印有“維尼修斯（Vinicius）“圖案，n（2≤n≤4）張印有“湯姆（Tom）”圖案，其余卡片上印有”2016年里約奧運會“的圖案．
（1）若n=4，從抽獎箱中任意取一卡片，記下圖案后放回，連續(xù)抽取三次，求三次取出的卡片中，恰有兩張印有“2016年里約奧運會”圖案卡片的概率；
（2）從抽獎箱中任意抽取兩張卡片，如果兩張卡片圖案相同的概率是$\frac{2}{7}$．求n的值；
（3）①當(dāng)n=3時，隨機抽取一次，若規(guī)定取出印有“維尼修斯（Vinicius）”圖案的卡片獲得16元購物券，取出印有“湯姆（Tom）”圖案的卡片獲得8元購物券，取出印有“2016年里約奧運會”的圖案的卡片沒有獎勵，用ξ表示獲得獎券的面值，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．
②在①的條件下，若商場每天有800人參與抽獎活動，顧客獲得的購物券全部用于捆綁其他商品消費，每1元購物券能給商場帶來10元純利潤，則商場每天在這個活動中能獲得的純利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=4時，印有“2016年里約奧運會”的卡片有2張，記“從中任取一張卡片是‘2016年里約奧運會’”為事件A，則P（A）=$\frac{1}{4}$，由此能求出恰有兩張印有“2016年里約奧運會”圖案卡片的概（2）由題意得$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{n}^{2}+{C}_{4-n}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，由此能求出結(jié)果．
（3）①n=3時，則8張卡片中印有“維尼修斯（Vinicius）“圖案的卡片有2張，印有“湯姆（Tom）”圖案的卡片有3張，印有”2016年里約奧運會“的圖案的卡片有3張，ξ的可能取值為16，8，0，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求ξ的分布列和E（ξ）．
②在一次抽獎中，一人所得獎券的面值為7元，從而能求出800人所得獎券的面值總數(shù)，由此能求出商場的利潤．

解答 解：（1）當(dāng)n=4時，印有“2016年里約奧運會”的卡片有2張，
記“從中任取一張卡片是‘2016年里約奧運會’”為事件A，則P（A）=$\frac{1}{4}$，
則恰有兩張印有“2016年里約奧運會”圖案卡片的概率：
p=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）$=$\frac{9}{64}$．
（2）∵從抽獎箱中任意抽取兩張卡片，如果兩張卡片圖案相同的概率是$\frac{2}{7}$，
∴由題意得$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{n}^{2}+{C}_{4-n}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，
解得n=2或n=4．
（3）①n=3時，則8張卡片中印有“維尼修斯（Vinicius）“圖案的卡片有2張，
印有“湯姆（Tom）”圖案的卡片有3張，印有”2016年里約奧運會“的圖案的卡片有3張，
ξ的可能取值為16，8，0，
P（ξ=16）=$\frac{1}{4}$，P（ξ=8）=$\frac{3}{8}$，P（ξ=0）=$\frac{3}{8}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	16	8	0
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$

∴E（ξ）=$16×\frac{1}{4}+8×\frac{3}{8}+0×\frac{3}{8}$=7（元）．
②由①知同，在一次抽獎中，一人所得獎券的面值為7元，
800人所得獎券的面值總數(shù)為：800×7=5600元，
∴商場的利潤應(yīng)是5100×10=56000元．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審，注意n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運用．