Question

1．近幾年，由于環(huán)境的污染，霧霾越來越嚴(yán)重，某環(huán)保公司銷售一種PM2.5顆粒物防護(hù)口罩深受市民歡迎．已知這種口罩的進(jìn)價(jià)為40元，經(jīng)銷過程中測出年銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，每年銷售這種口罩的總開支z（萬元）（不含進(jìn)價(jià)）與年銷量y（萬件）存在函數(shù)關(guān)系z=10y+42.5．
（I）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系；
（II）寫出該公司銷售這種口罩年獲利W（萬元）關(guān)于銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式
（年獲利=年銷售總金額-年銷售口罩的總進(jìn)價(jià)-年總開支金額）；當(dāng)銷售單價(jià)x為何值時(shí)，年獲利最大？最大獲利是多少？
（III）若公司希望該口罩一年的銷售獲利不低于57.5萬元，則該公司這種口罩的銷售單價(jià)應(yīng)定在什么范圍？在此條件下要使口罩的銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

Answer 1

分析 （I）由圖象可知y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b，用“兩點(diǎn)法”可求解析式；
（II）根據(jù)年獲利=年銷售總金額一年銷售產(chǎn)品的總進(jìn)價(jià)一年總開支金額，列出函數(shù)關(guān)系式；
（III）令W≥57.5，從而確定銷售單價(jià)x的范圍，及二次函數(shù)w最大時(shí)，x的值．

解答 解：（I）由題意，設(shè)y=kx+b，圖象過點(diǎn)（70，5），（90，3），$\left\{\begin{array}{l}{5=70k+b}\\{3=90k+b}\end{array}\right.$，得k=-$\frac{1}{10}$，b=12，
∴$y=-\frac{1}{10}x+12$…（4分）
（II） 由題意，得
w=y（x-40）-z
=y（x-40）-（10y+42.5）
=（-$\frac{1}{10}$x+12）（x-40）-10（-$\frac{1}{10}$x+12）-42.5
=-0.1x²+17x-642.5=-$\frac{1}{10}$（x-85）²+80．
當(dāng)銷售單價(jià)為85元時(shí)，年獲利最大，最大值為80萬元…（8分）
（III）令W≥57.5，-0.1x²+17x-642.5≥57.5，…（9分）
整理得x²-170x+7000≤0，解得70≤x≤100．…（10分）
故要使該口罩一年的銷售獲利不低于57.5萬元，單價(jià)應(yīng)在70元到100元之間．…（11分）
又因?yàn)殇N售單價(jià)越低，銷售量越大，所以要使銷售量最大且獲利不低于57.5萬元，銷售單價(jià)應(yīng)定為70元．      …（12分）

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及一次函數(shù)、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．