Question

（本題滿分14分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，D、E分別是BC和的中點(diǎn)，已知AB=AC=AA1=4，?BAC=90?．

（1）求證：⊥平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

（1）見解析；

（2）二面角B1—AE—D的余弦值為；

（3）三棱錐的體積為V＝8．

【解析】

試題分析：依題意得，平面ABC，，，

， ．

（1）∵，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC．

∵⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴AD⊥．

BC、?平面，且BC∩＝B，

所以AD⊥平面．

又?平面，故⊥AD ． 3分

由，，，

得，所以． 5分

又AD、DE?平面AED，且AD∩DE=E，故⊥平面． 6分

（2）過D做DM⊥AE于點(diǎn)M，連接．

由⊥平面AED，AE?平面AED，得AE ⊥．

又、DM?平面，且∩DM=D，故AE⊥平面．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060706040138653439/SYS201506070604055193917084_DA/SYS201506070604055193917084_DA.019.png">?平面，所以⊥AE．

故∠為二面角 —AE—D的平面角． 8分

由（1）得，AD⊥平面，又DE?平面，所以AD⊥DE．

在Rt△AED中，， 9分

在Rt△中，，

所以，即二面角—AE—D的余弦值為； 10分

（3）由（1）得，AD⊥平面，

所以AD為三棱錐的高，且． 11分

由（1）得． 12分

故三棱錐的體積 14分

考點(diǎn)：考查了直線與平面垂直的判定，二面角，錐體的體積．