如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱⊥底面 ，，是的中點，作交于點．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值．
（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查線線平行、線面平行、二面角等基礎(chǔ)知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問，利用向量法證明平面，利用已知的垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，寫出點A，P，B坐標，計算出向量和坐標，由于說明，再利用線面平行的判定平面；第二問，利用向量垂直的充要條件證明，而，則利用線面垂直的判定得平面EFD，所以平面EFD的一個法向量為，再利用法向量的計算公式求出平面DEB的法向量，最后利用夾角公式求二面角的正弦值.
如圖建立空間直角坐標系，點為坐標原點，設(shè). ……..…1分

（1）證明：連結(jié)交于點，連結(jié).依題意得.
因為底面是正方形，所以點是此正方形的中心，
故點的坐標為，且.               
所以,即,而平面,且平面,
因此平面．                           ……5分
（2）,又,故,所以.
由已知，且,所以平面. ………7分
所以平面的一個法向量為.,
不妨設(shè)平面的法向量為
則                      
不妨取則，即  …10分
設(shè)求二面角的平面角為
 因為，所以．
二面角的正弦值大小為． ………12分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（滿分14分）如圖在三棱錐中，分別為棱的中點，已知，

求證（1）直線平面；
（2）平面平面.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面平面；，，，.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成的角的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，
底面
（1）證明：平面平面;
（2）若二面角大小為，求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，分別為，中點，．
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使平面？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩
兩夾角為60°.
(1)求AC1的長；
（2）求BD1與AC夾角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)是不同的直線，是不同的平面，有以下四個命題：
①     ②
③   ④
其中，真命題是（   ）
A．①④B．②③C．①③D．②④

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在類比此性質(zhì)，如下圖，在四面體P－ABC中，若PA、PB、PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論為__________________________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知直線，與平面，，，滿足，，，，則必有（ ）
A．且B．且C．且D．且

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