Question

6．已知空間幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，BE⊥平面ABCD，AB=AF=2BE．
（Ⅰ）求證：BD∥平面CEF；
（Ⅱ）求CF與平面ABF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AF的中點(diǎn)G連結(jié)BG，GD，EG，證明BG∥EF，CD∥EG，CE∥DG，結(jié)合CE∩EF=E，BG∩DG=G，得到平面BDG∥平面CEF，推出BD∥平面CEF．
（2）設(shè)AB=a，連結(jié)BF，說(shuō)明∠BFC為CF與平面ABEF所成角的平面角，在Rt△CBF中，求解即可．

解答 （1）證明：取AF的中點(diǎn)G連結(jié)BG，GD，EG
∵AF⊥平面ABCD，BE⊥平面ABCD，
∴BE∥GF且BE=GF，∴四邊形BEFG為平行四邊形，
∴BG∥EF，
同理可證四邊形ABEG為平行四邊形，∴EG∥AB且EG=AB，
又CD∥AB且CD=AB，∴CD∥EG且CD=EG，∴四邊形CDGE為平行四邊形，∴CE∥DG且EG=AB，
又∵CE∩EF=E，BG∩DG=G，∴平面BDG∥平面CEF，
∴BD∥平面CEF…（6分）
（2）解：設(shè)AB=a，則$AC=\sqrt{2}a，\;CF=\sqrt{3}a$，
連結(jié)BF，易證CB⊥平面ABEF，∴∠BFC為CF與平面ABEF所成角的平面角，
在Rt△CBF中，$sin∠BFC=\frac{BC}{CF}=\frac{AB}{CF}=\frac{a}{{\sqrt{3}a}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與平面所成角，直線(xiàn)與平面平行，平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．