Question

【題目】在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒（如圖）．設小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，其中a≥b．

（1）當a＝90時，求紙盒側(cè)面積的最大值；

（2）試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）當x＝時，紙盒的側(cè)面積的最大值為平方厘米;

（2）當a＝b＝60，x＝10時紙盒的體積最大，最大值為16000立方厘米．

【解析】試題分析：（1）矩形紙板的面積為，故當時， ，列出關于紙盒側(cè)面積函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得最大值；

（2）列出盒子體積的函數(shù)解析式，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、最值，即可得到結(jié)論。

試題解析：

（1）因為矩形紙板ABCD的面積為3600，故當a＝90時，b＝40，

從而包裝盒子的側(cè)面積

S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)

＝－8x2＋260x，x∈(0，20) ．

因為S＝－8x2＋260x＝－8(x－)2＋，

故當x＝時，側(cè)面積最大，最大值為 平方厘米．

答：當x＝時，紙盒的側(cè)面積的最大值為平方厘米．

（2）包裝盒子的體積

V＝(a－2x)(b－2x) x＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈(0，)，b≤60．

V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4x＋4x2)

＝x(3600－240x＋4x2)

＝4x3－240x2＋3600x． 當且僅當a＝b＝60時等號成立．

設f (x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0，30)．

則f ′ (x)＝12(x－10)(x－30)．

于是當0＜x＜10時，f ′ (x)＞0，所以f (x)在(0，10)上單調(diào)遞增；

當10＜x＜30時，f ′ (x)＜0，所以f (x)在(10，30)上單調(diào)遞減．

因此當x＝10時，f (x)有最大值f (10)＝16000， 此時a＝b＝60，x＝10．

答：當a＝b＝60，x＝10時紙盒的體積最大，最大值為16000立方厘米．