Question

（Ⅰ）若點(diǎn)P（x，y）在曲線|x|+|y|=1上（xy≠0），求證：

x2

|y|

+

y2

|x|

≥1．
（Ⅱ）已知CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在弦AB與弦AC上，且BC•AE=DC•AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，證明：△ABC是直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由已知條件得

x2

|y|

+

y2

|x|

=（

x2

|y|

+

y2

|x|

）（|x|+|y|），由此利用均值不等式能證明

x2

|y|

+

y2

|x|

≥1．
（Ⅱ）已知CD為△ABC外接圓的切線，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．利用B、E、F、C四點(diǎn)共圓，可得∠CFE=∠DBC，進(jìn)而得到∠CFE=∠AFE=90°即可證明△ABC是直角三角形．

解答： （Ⅰ）證明：∵點(diǎn)P（x，y）在曲線|x|+|y|=1上（xy≠0），
|x|＞0，|y|＞0，
∴

x2

|y|

+

y2

|x|

=（

x2

|y|

+

y2

|x|

）（|x|+|y|）
=

x3

|y|

+y2+x2+

y3

|x|

≥x²+y²+2

x3 |y| • y3 |x|

=x²+y²+2|x||y|
=（|x|+|y|）²
=1．
∴

x2

|y|

+

y2

|x|

≥1．
（Ⅱ）證明：∵CD為△ABC外接圓的切線，∴∠DCB=∠A，
∵BC•AE=DC•AF，∴

BC

FA

=

DC

EA

．
∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．
∵B、E、F、C四點(diǎn)共圓，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．
∴∠CBA=90°，∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查直角三角形的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值不等式和圓的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．