Question

設數列{a_n}的前n項的和Sn=

9

8

an-

1

8

•3n+1+

3

8

，n∈N^*
（1）求首項a₁與通項a_n；
（2）設bn=2+log3(9n-an)，c_n=tanb_n•tanb_n+1，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，a1=S1=

9

8

a 1-

1

8

•32+

3

8

，可求a₁，然后由a_n=s_n-s_n-1，可求a_n
（2）由bn=2+log3(9n-an)可求b_n，代入c_n=tanb_n•tanb_n+1=tan（n+2）•tan（n+3），，結合兩角差的正切公式可求

解答：解：（I）由題意可得，a1=S1=

9

8

a 1-

1

8

•32+

3

8

，
解得：a₁=6…（2分）
由an=Sn-Sn-1=

9

8

a n-

9

8

an-1-

1

8

•3n+1+

1

8

•3n，
得an+3n=9(an-1+3n-1)，
即an=9n-3n．…（6分）
（2）∵bn=2+log3(9n-an)=2+n
∴c_n=tanb_n•tanb_n+1=tan（n+2）•tan（n+3），n≥1…（8分）
又∵tan[(n+3)-tan(n+2)]=

tan(n+3)-tan(n+2)

1+tan(n+2)•tan(n+3)

=tan1
∴tan(n+2)•tan(n+3)=

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-1…（9分）

Tn=tan(1+2)•tan(1+3)+tan(2+2)•tan(2+3)+…+tan(n+2)•tan(n+3) = tan(1+3)-tan(1+2) tan1 + tan(2+3)-tan(2+2) tan1 +…+ tan(n+3)-tan(n+2) tan1 -n = tan(n+2)-tan3 tan1 -n

…（12分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式轉化和與項之間的關系，數列的求和方法的應用，解題的關鍵是靈活利用兩角差的正切公式