Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，記函數(shù)的極小值為，若恒成立，求滿足條件的最小整數(shù).

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)0.

【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，討論的取值范圍，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可．
（2）根據(jù)（1）求出求出函數(shù)的極小值為若

恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)設(shè) 根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的函數(shù)，求出 即可求出滿足條件的最小整數(shù)

試題解析：

（1）的定義域為，

①若，當(dāng)時， ，

故在單調(diào)遞減，

②若，由，得，

（ⅰ）若，當(dāng)時， ，

當(dāng)時， ，

故在單調(diào)遞減，在， 單調(diào)遞增

（ⅱ）若， ， 在單調(diào)遞增，

（ⅲ）若，當(dāng)時， ，

當(dāng)時， ，

故在單調(diào)遞減，在， 單調(diào)遞增

（2）由（1）得：若， 在單調(diào)遞減，

在， 單調(diào)遞增

所以時， 的極小值為

由恒成立，

即恒成立

設(shè)，

令，

當(dāng)時，

所以在單調(diào)遞減，

且，

所以， ，

且， ， ，

所以，

因為

得其中，

因為在上單調(diào)遞增

所以

因為， ，所以