(06年浙江卷理)(14分)
已知函數(shù)f(x)=x+ x,數(shù)列|x|(x>0)的第一項(xiàng)x=1,以后各項(xiàng)按如下方式取定:曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過(guò)(0,0)和(x,f (x))兩點(diǎn)的直線平行(如圖)
.
求證:當(dāng)n時(shí),
(Ⅰ)x
(Ⅱ)
本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),以及不等式的證明,同時(shí)考查邏輯推理能力。
解析:證明:(I)因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331085210001.gif' width=112>
所以曲線在處的切線斜率
因?yàn)檫^(guò)和兩點(diǎn)的直線斜率是
所以.
(II)因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,
而
,
所以,即
因此
又因?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331085213016.gif' width=145>
令
則
因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331085214019.gif' width=104>
所以
因此
故
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