弦AB經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則下列敘述中,錯誤的選項是( 。
分析:根據(jù)拋物線方程可得焦點坐標,進而可設(shè)直線L的方程與拋物線聯(lián)立根據(jù)韋達定理求得x1+x2,x1x2進而得出y1y2根據(jù)拋物線定義可求得|AB|的表達式,整理可得|AB|=2p(1+
1
k2
),由于k=tana,進而可知當a=90°時AB|有最小值.
解答:解;焦點F坐標(
p
2
,0),設(shè)直線L過F,則直線L方程為y=k(x-
p
2

聯(lián)立y2=2px得k2x2-(pk2+2p)x+
p2k2
4
=0
由韋達定理得x1+x2=p+
2p
k2
  x1x2=
p2
4

∴y12y22=4p2x1x2=p4   y1y2=-p2 ∴D正確
|AB|=x1+x2+
p
2
=x1+x2+p=2p+
2p
k2
=2p(1+
1
k2
)∴B正確
因為k=tana,所以1+
1
k2
=1+
1
tan2α
=
1
sin2α

所以|AB|=
2p
sin2α

當a=90°時,即AB垂直于X軸時,AB取得最小值,最小值是|AB|=2p∴A正確
故選C
點評:本題主要考查拋物線的應(yīng)用.這道題綜合了拋物線的性質(zhì)、拋物線的焦點弦、直線與拋物線的關(guān)系等問題.綜合性很強.
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相關(guān)習題

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經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F且傾斜角為45°的直線與拋物線交于A、B兩點,則弦AB的中點M的坐標為
(3,2)
(3,2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

弦AB經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則下列敘述中,錯誤的選項是


  1. A.
    當AB與x垂直時,|AB|最小
  2. B.
    |AB|=x1+x2+p
  3. C.
    以弦AB為直徑的圓與直線數(shù)學(xué)公式相離
  4. D.
    y1y2=-p2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

弦AB經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則下列敘述中,錯誤的選項是( 。
A.當AB與x垂直時,|AB|最小
B.|AB|=x1+x2+p
C.以弦AB為直徑的圓與直線x=-
p
2
相離
D.y1y2=-p2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年吉林省實驗中學(xué)高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

弦AB經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則下列敘述中,錯誤的選項是( )
A.當AB與x垂直時,|AB|最小
B.|AB|=x1+x2+p
C.以弦AB為直徑的圓與直線相離
D.y1y2=-p2

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