Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{16}x+\frac{1}{4}{a}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}-4a+3）x+（3-a）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，若對任意非零實數(shù)x₁，存在唯一實數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，則實數(shù)a的值為2或6．

Answer 1

分析 由題意結(jié)合函數(shù)圖象可將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程（3-a）²=$\frac{1}{4}$a²，解得即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{16}x+\frac{1}{4}{a}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}-4a+3）x+（3-a）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴當x=0時，f（x）=$\frac{1}{4}$a²，
∵對任意的非零實數(shù)x₁，存在唯一的實數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立．
∴函數(shù)必須為連續(xù)函數(shù)，
∴（3-a）²=$\frac{1}{4}$a²，
解得a=2或a=6，
故答案為：2或6．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應用，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，注意利用數(shù)形結(jié)合進行求解，屬中檔題．