Question

6．某廠家舉行大型的促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算某產(chǎn)品當(dāng)促銷費(fèi)用為x萬(wàn)元時(shí)，銷售量t萬(wàn)件滿足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$（其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）．現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬(wàn)件還需投入成本（10+2t）萬(wàn)元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為（4+$\frac{20}{t}$）萬(wàn)元/萬(wàn)件．
（I）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；
（II）促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定該產(chǎn)品售價(jià)為（4+$\frac{20}{t}$）萬(wàn)元，y=t×（4+$\frac{20}{t}$）-（10+2t）-x，銷售量t萬(wàn)件滿足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$，代入化簡(jiǎn)得該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；
（Ⅱ）分類討論，利用基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性，可求廠家的利潤(rùn)最大．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，利潤(rùn)y=t×（4+$\frac{20}{t}$）-（10+2t）-x
由銷售量t萬(wàn)件滿足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$（其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）．
代入化簡(jiǎn)可得：y=20-（$\frac{9}{x+1}$+x），（0≤x≤a，a為正常數(shù)）
（Ⅱ）y=21-（$\frac{9}{x+1}$+x+1）≤21-6=15，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{9}{x+1}$=x+1，即x=2時(shí)，上式取等號(hào)．
當(dāng)a≥2時(shí)，促銷費(fèi)用投入2萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大； 
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，y在0≤x≤a上單調(diào)遞增，
x=a，函數(shù)有最大值．促銷費(fèi)用投入x=a萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．  
綜上述，當(dāng)a≥2時(shí)，促銷費(fèi)用投入2萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，促銷費(fèi)用投入x=a萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式的運(yùn)用，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．