Question

16．若函數(shù)f（x）=|a^x-1-1|在區(qū)間（a，3a-1）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）=|a^x-1-1|的恒過坐標，對底數(shù)a進行討論，利用復合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”求解．

解答 解：由題意：函數(shù)f（x）=|a^x-1-1|，
圖象恒過坐標為（1，0）
令t=x-1，
∵函數(shù)t在R上是增函數(shù)，
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，3a-1）上單調(diào)遞減，求其減區(qū)間即可．
由a＜3a-1，
∴$\frac{1}{2}＜a$．
當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，
∴3a-1≤1
解得：a$≤\frac{2}{3}$
∵0＜a＜1
∴$0＜a≤\frac{2}{3}$．
當a＞1時，函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，
∴3a-1≤1
解得：a$≤\frac{2}{3}$
∵a＞1
無解
綜上可得實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，
故答案為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．

點評 本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性的運用和圖象的翻折問題．函數(shù)f（x）=|a^x-1-1|的圖象的翻折是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．