Question

已知橢圓：（）上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為，左、右焦點分別為，，點是右準線上任意一點，過作直  線的垂線交橢圓于點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；

（3）點的縱坐標為3，過作動直線與橢圓交于兩個不同點，在線段上取點，滿足，試證明點恒在一定直線上．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）證明詳見解析；（3）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓的定義、離心率的定義、的關系列出方程組，解得的值；（2）由右準線方程設出點坐標，由垂直的充要條件得，表達出，將點代入橢圓中，即，代入中，化簡得常數(shù)；（3）設出點，代入橢圓方程中，設，由得向量關系，得到與的關系，據(jù)與及與系數(shù)比為2:3，得在直線.

試題解析：（1）由題意可得，解得，，,

所以橢圓：．                                   2分

（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為，

設，

因為PF₂⊥F₂Q，所以，

所以，

又因為且代入化簡得．

即直線與直線的斜率之積是定值．                      7分.

（3）設過的直線l與橢圓交于兩個不同點，點

，則，．

設，則，

∴，，

整理得，，，

∴從而，

由于，，∴我們知道與的系數(shù)之比為2：3，與的系數(shù)之比為2：3．

∴，

所以點恒在直線上．                                  13分

考點：1.橢圓的定義；2.離心率的定義；3.垂直的充要條件.